1/120で当たるものを120回繰り返したのに一度も当たらない、ということが起こる確率は1/e≒37%

タイトルの様な一文を見かけたのですが、この式の正誤と導き方を教えていただけないでしょうか？

No.4 回答者： age_momo 回答日時： 2007/10/03 22:55

この確率計算は二項分布に従います。

ところで実際の（近似）計算は確率が0.5に近いときは正規分布に、
0に近い場合はポアソン分布に近似すると良いことが
知られています。このポアソンによる二項分布の近似は結構
使われる手法です。『ポアソン　二項分布』で検索をかけると
その意味の解説が多数、出てきます。(URLはその一例)

ポアソン分布の計算は

P(N=k) = e^(-λ)*λ^k/k!

で表され、確率1/120で120回試行すると期待値λは1回です。
よって

P(N=0) = e^(-1)*1^0/0!=e^(-1)=1/e

となります。二項分布とポアソン分布による近似を比較すると

　　　　二項分布による計算　ポアソンによる計算
0回　　　0.366341266　　　0.367879441
1回　　　0.369419764　　　0.367879441
2回　　　0.184709882　　　0.183939721
3回　　　0.061052566　　　0.06131324
4回　　　0.015006618　　　0.01532831
5回　　　0.00292566　　　0.003065662
6回　　　0.00047122　　　0.000510944
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ある程度近いことが見て取れると思います。

参考URL：http://econom01.cc.sophia.ac.jp/sda/poisson.htm

この回答へのお礼

ありがとうございます。
そのような考え方もあるのだと勉強になりました。

お礼日時：2007/10/06 01:40

No.3 ベストアンサー 回答者： 0lmn0lmn0 回答日時： 2007/10/03 13:46

eの定義は様々ですが、

基本的な定義を使います。

ｘ→±∞
(1+(1/x))^x →　e　　　(1)
e≒2.718281828（鮒１羽２羽１羽２羽）

xを-xに置き換えると、
(1-(1/x))^(-x)　→　e 　(2)
　　　↓
1/((1-(1/x))^x)　→　e 　(3)


御質問の式、
(1-(1/x))^x　は、(3)の逆数で極限値は、
(1-(1/x))^x→1/e　　(4)
1/e≒0.367879441233567


近似値として、
x=120
(1)' (1+(1/120))^120≒2.707041491
(4)' (1-(1/120))^120≒0.366341266

これが近似として良いかどうかは、
御判断に委ねますが。
37％と言う数値から見ると、
x≧65 辺りではないかと思います。

ちなみに、
(1+(1/x))^x →　e　　　(1)
(1-(1/x))^x　→1/e　　(4)
の振る舞いは、御興味があれば、
free-soft,grapesで。
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

この回答へのお礼

ありがとうございます。
誤差が気になっていたのですが、120回の試行回数でもその辺りの確率になるのですね。

お礼日時：2007/10/06 01:39

No.2 回答者： a-saitoh 回答日時： 2007/10/03 10:00

1/nの確率で当たりということは、(1-1/n)の確立で外れ。

n回続けて外れるという確率は
(1-1/n)^n

ちなみに、
e=lim(n→∞)(1+1/n)^n　と定義されているので、
lim(n→∞)(1-1/n)^nは　1/eに収束するでしょうね。

なぜなら、εが非常に小さいとき1/(1+ε)=1-ε　だから

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ただ最後の行がいまいちわかりませんでした。

お礼日時：2007/10/06 01:37

No.1 回答者： ruyuu 回答日時： 2007/10/03 09:37

何回ひいても１／１２０が変わらなければ

あたらない確率は１１９／１２０
２回続けてあたらないのは１回目があたらず２回目もあたらない場合なので
１１９／１２０＊１１９／１２０

これを１２０回まで繰り返し計算すればいいです