ローラン展開の問題

f(z)=1/{(2-z)(z-1)^3}のz=1を中心とするローラン展開を求めよという問題ですが、自分で解いてみたものの解けませんでした。もうすぐテストなのでよろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/01/07 17:03

「自分で解いてみたものの解けませんでした」ってのは, 具体的にはどう「解い」てどう「解けなかった」の?

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/07 17:17

1/(2-z)をz=1を中心とするテイラー展開して、

その展開を(z-1)^3で割れば求めるローラン展開になります。

やってみてください。

この回答への補足

場合分けはしなくても良いのですか？このタイプのローラン展開は今までに解いたことがなく、数学を専門に勉強していないので良く分からないのです。すみません、お願いします。

補足日時：2013/01/07 18:01

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/07 20:42

中心を 0 へズラすと、少し見やすい。

z-1 = x と置けば、
f(z) = {x^(-3)}{1/(1-x)} となっているでしょう？
1/(1-x) のベキ級数展開は、
高校で習った等比級数の和を覚えていれば、できるはず。
1/(1-x) = Σ[k=0→∞] x^k です。
f(z) = Σ[k=0→∞] x^(k-3) = Σ[n=-3→∞] (z-1)^n
が f(z) の z=1 中心のベキ級数展開になっている
ことは、解りますか？

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/07 20:42

#2です。

A#2の補足の質問について

>場合分けはしなくても良いのですか？こ
場合分けは不要です。
というよりなぜ場合分けが必要とお考えか、理解に苦しみます。

1/(2-z)=1+(z-1)+(z-1)^2+(z-1)^3+(z-1)^4+(z-1)^5+... (z=1の回りのテーラー展開)

(z-1)^3で割って
f(z)=1/(z-1)^3 +1/(z-1)^2 +1/(z-1) +1+(z-1)+(z-1)^2+...

↑これがz=1を中心とするローラン展開になります。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/07 21:49

場合分けと言えば、

lim[z→1]((z-1)のn乗)f(z) が
収束する n と発散する n を場合分けして、
n≧3 で収束することを見い出せば、
((z-1)の3乗)f(z) が z=1 で
正則ではないか？という予測が立ち、
これを z=1 中心にテイラー展開してみたくなる。
実際、それは A No.3 のように可能だということ。