No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>Oを原点とする座標平面上にA(3.0) B(0,4)をとる。
三角形OABの周上を動く2つの点P,Q> が、点Pは辺OA上をO→Aと、点Qは辺AB、BO上をA→B→Oと動く。ただしP,Qは同時に出発し、
△OABは、直角三角形だから、
AB=√(OA^2+OB^2)=√(3^2+4^2)=√25=5
>Qの速さはPの速さの3倍である。
だから、Pが長さtだけ動くと、Qは長さ3t動く。(OP=t,AQ=3t)
AQの長さyとすると、yとtの関係は、y=3tとおける。
>P(t、0)(0<t<3)のとき、三角形APQの面積をStとする。
>Stの最大値とそのときのtの値を求めよ。
△APQは、APが底辺で、Qの位置で高さが変わる。高さが最大4になるとき、Qは5動くから、
y=5のとき、5=3t より、t=5/3
だから、
QがA→Bを動くとき、OPは0~5/3まで増加すると、高さは0~4まで増加し、
QがB→Oを動くとき、OPは5/3~3まで増加すると、高さは4~0まで減少する。
(1) QがA→Bを動くとき
0≦t≦5/3のとき、高さをh1とすると、0≦h1≦4
(t,h1)=(0,0),(5/3,4) と対応する。
h1とtの関係は、h1=a1・t+b1 とおくと、上の座標を代入して、
b1=0,4=a1・(5/3) より、a1=12/5 よって、h1=(12/5)t
AP=OA-OP=3-t
△APQの面積St=(1/2)・AP・h1=(1/2)・(3-t)・{(12/5)t}
=-(6/5)(t^2-3t+9/4)+(6/5)・(9/4)
=-(6/5){t-(3/2)}^2+(27/10)
0<t≦5/3だから、t=3/2のとき、最大値St=27/10(=81/30)
(2) QがB→Oを動くとき
5/3≦t≦3のとき、高さh2とすると、0≦h2≦4
(t,h2)=(5/3,4),(3,0) と対応する。
h2とtの関係は、h2=a2・t+b2 とおくと、上の座標を代入して、
a2=(0-4)/{3-(5/3)}=-3 0=-3・3+b2 より、b2=9
よって、h2=-3t+9
St=(1/2)・(3-t)・h2=(1/2)・(3-t)(-3t+9)
=(1/2)(3t^2-9t+27)
=(3/2)(t-3)^2
5/3≦t<3だから、t=5/3のとき、最大値St=8/3(=80/30)
(1)(2)を合わせると、Stの最大値は27/10 そのとき、t=3/2
図を描いて考えてみてください。
No.4
- 回答日時:
>AB=√(3^2+4^2)=√25=5だから3t≦5すなわち0<t≦5/3ではQは
AB上にあり、St=(1/2)*(3-t)*(12t/5)=(-6/5)(t^2-3t)
=(-6/5)(t-3/2)^2+27/10だからt=3/2のときStは最大値27/10・・・(1)
5/3≦t<3のときQはOB上にありSt=(1/2)*(3-t)*{4-(3t-5)}
=(1/2)*(3-t)*(9-3t)=(3/2)*(t^2-6t+9)=(3/2)*(t-3)^2だから
Stのグラフは(3,0)を極小点とする下に凸の二次曲線になるので、
5/3≦t<3の範囲でStはt=5/3で最大となり、その値は
St=(3/2)*(5/3-3)^2=8/3・・・(2)
(1)(2)よりStの最大値は27/10、とそのときのtは3/2・・・答
No.3
- 回答日時:
連投すいません。
No1です。p=5/3つまり点Q=点Bになったあとは、高さも底辺も減る一方なのでよって面積が減ることは
自明なので計算しなくてもいいかも、です。
No.1
- 回答日時:
頭の体操でやってみただけなのでご容赦ください。
2通りに分けたらいいのかな、と思いました。
点Qが辺ABを動いている間は、三角形PQAの高さは、3:4:5の定理に従うと思います。
ここまでが、p=5/3までの求め方です。
平方式に整形すると負の式になりますので、MAX値を出せます。
MAX値の時のpが5/3を超えていないことも念のため確認します。
次にp>(=)5/3pの求め方ですが
p値によって、BOの高さがどのようになるかを求めます。(単純な一次式になると思います。)
その高さ×底辺(3-p)×1/2です。
同じように平方式にまとめますが、これは正の式になりますので、結果的にはQがBにあるときが一番面積が大きい
ということになります。
よって、前者の辺ABにあるときのMAX値が条件を満たす一番大きい三角形(APQ)になる、ということだと思います。
間違ってたらすいません。
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