多くあります。面倒くさかったら一問だけでもいいです。

1.a=log2(3),b=log3(7)のときlog14(56)をa,bで表せ。

2.xyz≠0,2^x=3^y=12^zのとき、等式2/x+1/y+1/zを証明せよ。

3.y=log1/2(4x-x^2)の最小値、最大値を求めよ。

4.ある細菌は、30分ごとに1回分裂して2倍の個数に増える。
 この細菌100個が1億個以上に増えるには何時間かかるか?
 (log10(2)=0.3010)

答えは1.(ab+3)/(ab+1)
2.略。
3.最大値なし。x=2のとき最小値-2
4.約10時間

です。よろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

丁度いいlogの復習になりました。



1.は既にsiminnchannさんがご回答済みなので省略。

2.2^x = 3^y = 12^z = k と置きます。
    x = log2(k), y = log3(k), z = log12(k)
 この時
          log2(k)         log2(k)            x
    z = ------ = ------- = --------
          log2(12)       log2(2^2*3)       2 + log2(3)
 ここで
               logk(3)       (1 / log3(k))      y
    log2(3) = ------ = -------- = ---
               logk(2)       (1 / log2(k))      x
 ゆえに
     1      2 + y/x       2      1
    --- = ------ = --- + ---
     z         x          x      y
 (証明終り)

3.f(x) = log1/2(4x-x^2)と置くと
    f(x) = log1/2(e)log(4x-x^2)
 ここで後半のlogは自然対数を表す。
    log1/2(e) = -log2(e)
 よって
    f'(x) = -log2(e) * (4-2x)/(4x-x^2)
    f''(x) = -log2(e) * (-2(4x-x^2) - (4-2x)^2) / (4x-x^2)^2
       = log2(e) * 2(x^2-4x+16) / (4x-x^2)^2
 ここでe>1よりlog2(e)>0, x^2-4x+16 = (x-2)^2+12 > 0 より
    f''(x)>0
 となり、y=f(x)は下に凸。よって最小値を持ち最大値を持たない。
 最小値ではf'(x)=0なので
    4-2x=0 ∴x = 2, 
 この時最小値は
        f(2) = log1/2(4) = log2(4)/log2(1/2) = 2 / (-1) = -2

4.初期値が100個で1回の分裂で2倍に増えるので、n回分裂後の数は
    100 * 2^n
 これが1億(10^8)以上である条件は
    100 * 2^n ≧ 10^8
    2^n ≧ 10^6
 両辺の常用対数を取ると大小関係は保たれるので
    log10(2^n) ≧ 6
    n * log10(2) ≧ 6
    n ≧ 6 / log10(2) = 6 / 0.3010 = 19.933...
 これを満たす最小のnは20。20回目の分裂をするのは10時間後。
 ゆえに、この細菌が1億個以上に増えるのは10時間後。
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この回答へのお礼

おかげさまで無事乗り切りましたありがとうございました。

お礼日時:2001/05/25 13:05

おねがいするのであれば


それなりの言葉づかいをしましょう。
どうしてもとけないのでヒントあるいは解き方をおしえてくださいとか。

あと問題を見る限り
基礎的な問題でこのようなレベルであれば
教科書に同様の問題が載っているはずです。
4番など私が使っていた教科書にほとんど同じ問題がありました。
教科書をみてください。

それでもわからない時には
こっからここの変換法がわからないなど詳しく書いて
“質問”しましょう。ここは答えを教えてもらう場所ではありません。

ヒント。
1番、底の変換公式を用いましょう。
3番、底が1以下の場合の対数のグラフを考えればわかるはずです。
4番、一時間後には2の2乗個になっていますね。
2時間後には2の4乗個。あと底の変換公式を使えば答えがでます。
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1だけ解いといたよ。



1.log14(56)=log3(2^3*7)/log3(2*7)

=log3(2^3)+log3(7)/log3(2)+log3(7)

=3log3(2)+log3(7)/log3(2)+log3(7) ・・・・・(p)

log3(2)=log2(2)/log2(3)=1/log2(3)=a

(p)={3/a+b}/{1/a+b}
=(ab+3)/(ab+1}
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この回答へのお礼

お忙しいところ本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/05/23 17:51

これ、質問っつーより依頼ですよね・・・。


「ここにある問題やっといて」っていう感じで。
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この質問、何か、ちょっと考えて分からない、誰か教えて!


っていう感じで、でも教えてもらおうという態度には見えないのですが。
で、人にやらせておいて、自分は明日の早朝に見るって
どういうことなんですか?

おまけに2は等式になっていないし。
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何がお知りになりたいの?テストと関係ある問題?それってカンニングじゃないのかな...補足してください。

この回答への補足

>テストと関係ある問題?
はい。そうです。
>それってカンニングじゃないのかな...
え?なんで?

補足日時:2001/05/23 17:43
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わかりません。

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こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

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>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

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