調和振動子の固有値

壁|---○---○---|壁
上の図のように、ばね定数Kの3つのバネ3本で連結された二つの粒子(質量はともにm)の運動のうちで、バネに平行な方向の成分だけに着目して、そのハミルトニアンを　　　　
重心座標 X=(x1+x2)/2 相対座標 x=x1-x2
を用いて書き直すと

H=[{-(hbar)^2/4m}(∂/∂X)^2 +KX^2]-[{(hbar)^2/m}(∂/∂X)^2 + 3Kx^2/4}]

となる。
ここから固有値を求めるわけですが、解説には
重心運動は　質量 2m ばね定数 2K
相対運動は 質量 m/2 ばね定数 3K/2
となってωo=√(K/m) ω=√(3K/m)
固有関数は、それぞれの固有関数の積、固有値は和であらわされるから、
εNn=(N+1/2)(hbar)ωo + (n+1/2)(hbar)ω
と書いてあります。

ここで二つ質問があって、
(1)重心運動のばね定数が 2K
相対運動の 質量 m/2 ばね定数 3K/2　
　という風にどうして表されるのか、
(2)なぜ調和振動子の固有値はそれぞれの和で表されるのか

というのが分かりませんでした。
どなたかご教授ください。お願いします。

No.1 回答者： seud#1 回答日時： 2013/03/26 13:16

>H=[{-(hbar)^2/4m}(∂/∂X)^2 +KX^2]-[{(hbar)^2/m}(∂/∂X)^2 + 3Kx^2/4}]

ハミルトニアンが線形結合で表されているからです。

この回答への補足

返答ありがとうございます。
ということは固有値がそれぞれの和でかけるというのは、調和振動子特有の事ではないということでよろしいのでしょうか？

補足日時：2013/03/26 15:50

No.2 回答者： seud#1 回答日時： 2013/03/26 16:36

行列で言う固有値を、例えばA+B=CとしてCφ=λφとした場合を実行すればいい。

Aの固有値をa、Bの固有値をb、a+b=λとすれば、
Cφ=(A+B)φ=Aφ+Bφ=aφ+bφ=(a+b)φ=λφ
となる。つまり、固有値の和。

ハミルトニアンも線形演算子のみで構成されている(中の形も非線形ではない)ため、行列と同様に考えられます。

No.3 ベストアンサー 回答者： seud#1 回答日時： 2013/03/26 17:06

あと、(1)の方ですね。

元々のシュレディンガー方程式(1次元、時間に依存しない)ではH={-(hbar)^2/2m}(∂/∂x)^2 +(kx^2)/2となります。
定数をm=2m、k=2Kとすれば、今考えているハミルトニアンの重心運動分となるからです。相対運動分も同様です。

この回答へのお礼

なるほど！
そういうことだったのですね！
固有値がそれぞれの和で表わされるのも数式をみて納得することが出来ました。
ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/26 20:20