重心に関する質問です

あらい斜面上に、辺の長さがa,b（斜面に対して垂直な辺がa） の直方体を置き、ゆっくりと斜面の傾きを増していったところ
斜面の角度がθを超えたとき直方体は斜面を滑らずに傾いて倒れた。tanθの値を求めよ。（答え b/a）


まず傾いて倒れるときの条件がよくわかりません。どのように考えればいいでしょうか

No.5 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2007/10/13 07:39

＃２に書かれている補足

＞何故鉛直に下ろした重力の線が直方体の底面からはみ出すと倒れるのでしょうか？

についてです。
これは＃１の回答の中に書かれています。
＞傾いて倒れるということは、見方を変えれば回転です。
＞与えられた条件で、回転モーメントが発生するのが何時か考えて見ましょう。

倒れないとき
重力は底面に働く力とつりあっています。底面には垂直抗力と静止摩擦力が働きます。重心から下ろした線が底面を通るときこの２つの力の合力は重力と同じ線上にあって重力とつりあいます。作用点は重心から下ろした線が底面と交わるところです。面の中央ではありません。
重心から下ろした線が面の外側になったとします。面内の何処かからしか働くことのできない力と重力とは作用線が一致しません。面の角を支点とした回転が起こることになります。

No.4 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2007/10/13 04:19

余談：直方体の重心をＯ、底辺の下の角をＡ、上の角をＢとすると、

∠ＯＡＢ＝tan^-1(ａ/ｂ) で、∠ＯＡＢ＋θ＝π/２ のとき、重心が点Ａの真上に来て、点Ａ回りのモーメントがゼロですが、

∠ＯＡＢ＋θ ≧ π/２ になると、点Ａ回りのモーメントが倒れる方向に働き、

よって、tan^-1(ａ/ｂ)＋θ ＝ π/２ より、tanθ が求められます。

No.3 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2007/10/13 03:40

高さａ、幅ｂ の直方体が {tan^-1(ａ/ｂ)}＋θ＝(π/２) のとき倒れたから、

ａ/ｂ＝tan(π/２－θ)＝cotθ＝１/tanθ 　　　 ∴　tanθ＝ｂ/ａ になります。

No.2 回答者： BookerL 回答日時： 2007/10/12 21:33

　直方体の密度が一様である、というのが暗黙の前提として、

　直方体の重心は直方体の中心にあり、重心から鉛直に下方におろした線が直方体の底面からはみ出すと直方体が倒れます。
　直方体の側面の対角線が鉛直になっている図を描いて、角度の関係を確認しましょう。

　ただ、これも暗黙の前提に含まれるのかと思われますが、斜面上の直方体の置かれ方は、底面の長方形（の下側の辺）の向きが斜面の下方へ向かう向きと直角になっている（斜面真下方向に倒れるような置き方になっている）としないと話がややこしくなりますね。

この回答への補足

>>重心から鉛直に下方におろした線が直方体の底面からはみ出すと直方体が倒れます。

ありがとうございます。おっしゃられた事は答えから考察してだいたいわかっていたのですが、何故鉛直に下ろした重力の線が直方体の底面からはみ出すと倒れるのでしょうか？

補足日時：2007/10/12 21:38

No.1 回答者： shintaro-2 回答日時： 2007/10/12 21:29

＞まず傾いて倒れるときの条件がよくわかりません。

どのように考えればいいでしょうか

傾いて倒れるということは、見方を変えれば回転です。

与えられた条件で、回転モーメントが発生するのが何時か考えて見ましょう。