高校数学Aの補集合について

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質問者：asukeruout
質問日時：2013/04/13 10:28
回答数：2件

高校の数学の予習でわからないところがありましたので、質問させていただきました。

補集合の性質がどうもうまく理解できません。

写真を添付いたしましたので、わかる方回答お願いします。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： Nakay702
回答日時：2013/04/13 12:11

以下の表記で、アポストロフィ付は補集合を表わします。

Ａ ⋂ Ａ’＝ φ ：集合Ａ（たとえば円Ａ）と、その補集合Ａ’（円Ａの外側）との積集合（重なった部分）は、φ空集合となる（＝重なる部分がない）。なお、φ（ファイ）は０（ゼロ）と書いてもよいのですが、Ｏ（オー）との混同を避けるために、集合論ではよくこの記号が使われます。

Ａ ⋃ Ａ’＝Ｕ：集合Ａと、その補集合Ａ’との和集合（加えたもの）は、全体集合である。

Ａ’’＝Ａ：Ａの補集合であるＡ’の、そのまた補集合であるＡ’’は、結局のところ集合Ａと等しい。

Ａ⊂ＢならばＡ’⊃ Ｂ’：ＡがＢの部分集合（＝ＡがＢに含まれる・属している）ならば、〔Ｂの補集合である〕Ｂ’は、〔Ａの補集合である〕Ａ’の部分集合である。

実際に四角や円で図を描いて考えると分かりやすいでしょう。特に、最後の命題は頭で考えるだけではチンプンパンプンて感じですが、図を描くと実に明快です。

なお、覚えやすさのために１つ補足しておきます。
⋂や⋃の記号とその意味の区別がしにくい場合には、⋂（積集合）を英語でmeetと言いますので、この頭文字のＭの形とこの記号との類似性で覚えましょう。また、⋃（和集合）を英語でjointと言いますので、この頭文字のJの形とこの記号との〔部分的〕類似性で覚えましょう。