高校の物理の問題です。

高校の物理の問題です、皆さん、教えていたたけませんか。
ばねに質量ｍのおもりをつけて下げた。図１のようにはじめにばねの長さが自然長になる位置でおもりを板で支えた。次に板をゆっくり下げたところ、図２のようにばねがｄだけのびたところでおもりは板を離れて静止した。図１の状態のバネとおもりの力学エネルギーの和をu1とし、図２の状態のバネとおもりの力学エネルギーの和をu２とする、 (u2-u1)はいくらか。
正解はー０．５ｍｇｄだそうですが、どうやって解けるのか教えていたたけませんか
宜しくお願いいたします

No.2 回答者： 903903903 回答日時： 2013/04/29 19:31

求めたい値をＷとおきます。

おもりの重力mgと板の垂直抗力Ｎとが運つりあっているので運動方程式より図１はma=mgーＮ＝０です。また同じく図２もバネの弾性力kdとおもりの重力mgとがつりあいma=kd-mg=0となります。
図１の状態のバネとおもりの力学的エネルギーの和u1は 、はじめにばねの長 さが自然長になる位置を基準としたとき、u1=0となります。
また図２の力学的エネルギーの和はーmgd+１/２ｋｄの2乗＝Ｗ
これにmg＝ｋｄを代入すれば、答えが出ます。

No.1 回答者： Quarks 回答日時： 2013/04/29 19:01

　力学的エネルギー＝運動ネルギー＋位置エネルギー

です。
物体の質量をｍ，速度をｖとすると
　運動ネルギーＫ＝(1/2)・ｍ・ｖ^2
ですが。本問では、オモリはゆっくり移動させられているので、常に
　速度ｖ＝０
だったと考えて良いです。
　∴運動ネルギーＫは、ずっと０のまま、つまりその変化量も０です。
　
位置エネルギーとは、物体に働いている保存力の１つ１つについて考えられる量ですが、本問では、重力ｍｇと弾性力とが保存力ですので、これら２つの保存力について位置エネルギーを計算しなければなりません。
(1)弾性力による位置エネルギーＵkは、
　Ｕk＝(1/2)・ｋ・ｘ^2
ここで、ｋはバネ定数，ｘは自然長からの伸び(または、縮み)です。
図1では、ｘ＝０ですから　Ｕk＝０
図2では　ｘ＝ｄですから　Ｕk＝(1/2)・ｋ・ｄ^2
差し引き、(1/2)・ｋ・ｄ^2　だけ増加しています。
(2)重力による位置エネルギーＵは、その基準点の採り方が任意ですから、図１の時のオモリ位置(高さ)での位置エネルギーＵを０としましょう。
図２では、基準位置よりｄだけ下がっていますから
　Ｕ＝ｍｇ(－ｄ)＝－ｍｇｄ
差し引き、　ｍｇｄ　だけ減っています。
　
ところで、図２では、弾性力と重力とが釣り合っているのですから
　ｍｇ＝ｋｄ
が成立しています。この関係を使って、Ｕkの変化量を評価し直すと
　(1/2)・ｋ・ｄ^2　だけ増加＝(1/2)ｍｇｄ　だけ増加
となります。
　
集計すると、(運動エネルギーの変化量は０でしたから)
　力学的エネルギーの変化量は、
(1/2)ｍｇｄ　だけ増加と　ｍｇｄ　だけ減少の和となり
　(1/2)ｍｇｄ－ｍｇｄ＝－(1/2)ｍｇｄ
となります。
　
オーソドックスな解法は以上ですが、別のアプローチもあります。
力学的エネルギーは、物体に働く力が、保存力だけだったとすると、一定値に保たれます(力学的エネルギー保存の法則です)。しかし、非保存力が仕事Ｗをすると、力学的エネルギーは、そのＷの分だけ変化します。Ｗが正なら力学的エネルギーは増加しますが、Ｗが負だったら減少します。
さて、本問で、非保存力とは何でしょうか？　重力と弾性力とは保存力でしたが、板が支えている力は保存力ではありません。ということは、この板がした仕事Ｗだけ、力学的エネルギーは変化するわけですから、このＷこそが答だと言うこともできるのです。
　
板が支えている力は、物体の高さによって変化します。下に行くほど小さくなることはイメージできるでしょう。そこで、支える力の平均値Ｆを求めてみます。
図１ではオモリの重さがモロに掛かっていますからｍｇですが、図２では板が無くてもそのまま、つまり板が支える力は０です。結局、平均値Ｆは単純平均値
　Ｆ＝(ｍｇ＋０)/2＝(1/2)ｍｇ
となります※
　
Ｆは当然のように上向きの力です。オモリは、このＦが働く向きとは反対方向にｄだけ移動するのですから、Ｆがした仕事Ｗは、仕事の定義から
　Ｗ＝Ｆ・ｄ・cos180°＝－(1/2)ｍｇｄ
　
※板が支える力は非常に単純で、板が下がった距離に単純に比例して小さくなっていきます。こんな場合は、力の平均値は単純平均値で表して構いません。
心配なら、板が下がった距離をｘとして、その位置で板が支える力をｘの関数として表し、ｘ～ｘ＋Δｘ　の移動に要する仕事Δｗを求め、区間ｘ＝０～ｄで、Δｗを積分すれば、より厳密な解き方になります。