等方性材料の構成式について

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質問者：rokuroku8828
質問日時：2013/06/21 17:02
回答数：3件

3次元の応力とひずみを
σ=[σ1 σ2 σ3 τ1 τ2 τ3]T，ε=[ε1 ε2 ε3 γ1 γ2 γ3]T　としたとき
等方性材料の構成式は

　　　　C11 C12 C12　　　0　　　　　　　　　0　　　　　　　　0
　　　　C12 C11 C12　　　0　　　　　　　　　0　　　　　　　　0
σ=　 C12 C12 C11　　　0　　　　　　　　　0　　　　　　　　0　　　　　　ε
　　　　0　　　0　　0　(C11 - C12)/2　　　　0　　　　　　　　0
　　　　0　　　0　　0　　　　0 　　　　　(C11 - C12)/2　　　0
　　　　0　　　0　　0　　　　0　　　　　　　　　　0　　　　(C11 - C12)/2

といくつか教科書を見ると書いてあるのですが
せん断応力とせん断ひずみをつなぐ部分が，なぜこのような形になるのか分かりません．

ヤング率E，ポアソン比ν，せん断弾性係数Gの関係を考えると
確かにこの形になっているというのは理解できるのですが…

どなたか分かる方お願いします．

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回答 (3件)

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No.3

回答者： noname_deadbeef
回答日時：2013/07/02 23:27

補足。

まだスッキリしていないとしたら、それはそもそも等方弾性体においてG=E/2(1+ν)になることの理由がわかっていないのかも、と思いました。

布を普通に持って引っ張ると糸が突っ張って固いですね。ここではEx=Ey=Eであるとしましょう。手を傾けてせん断力を与えるとほとんど抵抗を受けません。Gxyが小さいです。この布を45度だけ持ち替えてもう一度手を傾けると、今度は45度方向を向いた糸が突っ張って固いです。G(x+y)(x-y)が大きいです。（x+yとかは45度方向に軸を定義したいなという気持ちです）
というわけでこの布は4回回転対称ではあっても等方性材料では無いわけです。
＃3次元なら前回補足資料のP21、立方対称と等方の違い
幾何学的考察とモールの応力円などから、G(x+y)(x-y)=E/2(1+ν)が結論付けられます。材料力学の教科書の前半にあったかな…
等方性材料でGxy=G(x+y)(x-y)という条件（材料を45度回しても変化しないこと）が追加されるのでEとνからGが一意に決まることになります。

＃あるいは、「GやKを持ち出さなくても、テンソルの座標変換則を勉強すればC44=(C11 - C12)/2を導くことができるはずですよ」がほんとうに欲しい答えだったのかもオチ

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No.2

回答者： noname_deadbeef
回答日時：2013/06/28 21:42

ではまず、対角線以外が0になること。

材料にγ2（γzx）だけの純せん断ひずみを与えたとして、τ2（τzx）以外にτ1（τyz）のせん断応力が発生するとします。C45=τ1/γ2です。イメージとしては、τ2を与えた時にγ1（γyz）が生じて、それをτ1で無理やり打ち消して純せん断ひずみを実現させたと。材料のy方向がどちらかに倒れたわけです。
＃こういうふうな議論をするならε=Cσの形のほうがわかりやすいのですが…
この材料をy軸周りに180度回転させてもう一度γ2を与えると、材料のy方向が倒れる方向も180度回転するはずですが、等方性材料という前提があるので、材料のy方向が倒れる方向は材料をどう回そうが変わらないはずです。
つまりτ1=-τ1ゆえにτ1=0ゆえにC45=0です。
同様の議論でC46=C56=0も求まります。

次に(C11 - C12)/2ですが…C11やC12が謎存在なのにC44=(C11 - C12)/2だと言われても困ってしまいますよね。

この構成式（σ=Dεの形）の性質を考えてみましょう。
ポアソン比νが0.5に近づくと材料の非圧縮性が強くなります。体積弾性係数Kがどんどん大きくなります。この時この構成式に、体積が変化しているようなεを与えるととんでもなく大きなσが出てくるはずです。Eが発散するわけでもないのにC11やC12が発散しようとしているのです。
「C44ってGそのものだよね？なんで発散しそうなC11とC12から計算しようとしてるの？筋悪くない？」
というわけでこの構成式をKとGのみで表してみてください。綺麗な形になるはずです。
＃Eとνによる式からの変形でもいいし、一から考える（ε1のみの状態を静水圧と純せん断の重ね合わせと考えて云々）でもいいですが、両方やると理解が深まります。

答え合わせ用資料↓

参考URL：http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E5%BC%BE%E6% …