中3 2乗

ｍ²-ｎ²＝65を満たす自然数　ｍ、ｎの値の組をすべて求めなさい。

考えたのですが、ｍ、ｎ＝9、4⇒いちいち、あてはめて考えました。
他にも、多数あるのかと思いましたが、他に、答えは、ｍ、ｎ＝33,32とのことでした。
このほかは、ないのですか？また、簡単に出す方法はあるのですか？
教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： kanna_1837 回答日時： 2013/06/22 11:16

こんにちは。

(m+n)(m-n)に式を分解します。
そして2つの数をかけて65になる数字を探し出します。←素因数分解をしたらすぐに分かります。
1と65の組、5と13の組ですね。

そしてm+n=65とm-n=1になる数を連立方程式でときます。
m+nがどちらの数になるか、m-nがどちらになるかはだいたい分かりますよね。
また、5と13の組も同じように解いてください。

No.6 回答者： asuncion 回答日時： 2013/06/22 14:40

m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 65 = 5 × 13

m^2 - n^2が65という正の数であるから、m > n, m - n > 0
また、nは自然数であるから、n > -n, m + n > m - n
よって、m + n, m - nはi)とii)の2組にしぼることができる。

i)
m + n = 65
m - n = 1

ii)
m + n = 13
m - n = 5

後は、i)とii)の連立方程式を解くだけです。

No.5 回答者： watch-lot 回答日時： 2013/06/22 11:25

#1,#2です。

全部訂正で書き直します。

ｍ²-ｎ²＝65
書き直すと
(m+n)(m-n)=65
65を素因数分解すると1×5×13 です。

いま、(m-n)=1（mとnは１つ違い）とすると、(m+n)=65を満たすにはm=33,n=32となります。
同様に(m-n)=5で(m+n)=13を満たすのはm=9,n=4
同様に(m-n)=13で(m+n)=5を満たすのはm=9,n=-4

となります。

No.4 回答者： at9_am 回答日時： 2013/06/22 11:16

二乗など○乗は^で表わします。

例えばｍ²はm^2と書きます。

m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 65 = 13 × 5

及びm,nが自然数から、

m + n = 13
m - n = 5
であることが分かります。
したがって、連立方程式を解いて答えを得ます。


> 簡単に出す方法はあるのですか？

この手の問題はセオリーとして、まず最初に因数分解と素因数分解で整数×整数の形を作ります。

No.2 回答者： watch-lot 回答日時： 2013/06/22 11:15

＃１です。

説明中の１５は１３の誤りです。訂正します。

No.1 回答者： watch-lot 回答日時： 2013/06/22 11:13

ｍ²-ｎ²＝65

書き直すと
(m+n)(m-n)=65
65を素因数分解すると1×5×13 です。

いま、(m-n)=1（mとnは１つ違い）とすると、(m+n)=65を満たすにはm=33,n=32となります。
同様に(m-n)=5で(m+n)=15を満たすm,nは存在しません。
同様に(m-n)=15で(m+n)=5を満たすm,nは存在しません。