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大学の数学の課題でわかりません。困ってます。

問題1:直線上の射影変換 f:R\{a}→R\{b}で
f(0)=3 , f(1)=5 , f(2)=4

をみたすものを求め、a,bを求めよ。

問題2:平面上の射影変換

f(x,y)=(x+y+1/2x+y-1,x-y+1/2x+y-1)
g(x,y)=(x+2y+1/x-y-1,x-2y+2/x-y-1)

に対し、
(1)合成g○f(x,y)を求めよ
(2)fの逆f^-1(x,y)を求めよ


答えと解法をお願いします。
あと、 f:R\{a}→R\{b}の意味がわかりません。
このバックスラッシュはどういうう意味なんですか?

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A 回答 (2件)

1:直線上の射影変換f:R-{a}→R-{b}



f(x)=c(x-b)/(x-a)
とすると
f(0)=cb/a=3
f(1)=c(1-b)/(1-a)=5
f(2)=c(2-b)/(2-a)=4
この連立方程式を解くと
c=11/3

a=2/3
b=6/11

2:
平面上の射影変換
f(x,y)=((x+y+1)/(2x+y-1),(x-y+1)/(2x+y-1))
f(x,y,1)=
(1, 1,1)(x)
(1,-1,1)(y)
(2,1,-1)(1)

g(x,y)=((x+2y+1)/(x-y-1),(x-2y+2)/(x-y-1))
g(x,y,1)=
(1, 2, 1)(x)
(1,-2, 2)(y)
(1,-1,-1)(1)
とする
(1)
g○f(x,y,1)
=
(1, 2, 1)(1, 1,1)(x)
(1,-2, 2)(1,-1,1)(y)
(1,-1,-1)(2,1,-1)(1)
=
( 5,0,2)(x)
(3,5,-3)(y)
(-2,1,1)(1)

g○f(x,y)=((5x+2)/(-2x+y+1),(3x+5y-3)/(-2x+y+1))

(2)
f^{-1}(x,y,1)=
(1, 1,1)^{-1}(x)
(1,-1,1).....(y)
(2,1,-1).....(1)
=
(0 ,2,2)(x)
(3,-3,0)(y)
(3,1,-2)(1)

f^{-1}(x,y)=((2y+2)/(3x+y-2),(3x-3y)/(3x+y-2))
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> f:R\{a}→R\{b}の意味がわかりません。



A\B は「集合のひきざん」です。A-Bとも書く。放置プレイされているのは、「射影変換って何なのか」をちょこっとでも調べさえすれば、あとはチョー簡単だからでしょ。
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2平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか?

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
   ...続きを読む

Q直線に対する対称点の求め方(正射影)

【問題】「直線l:5x+2y+1に対するl上にない点P(p,q)の対称点Rを求めよ。」

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直線lの法線ベクトルの一つはn↑=(5,2)なので、
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か又は
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だと思うのですが、どちらかに絞ることができません。

先日教えていただいた方法では
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5536137.html
答えが一つに絞れるので答えが2つになったり、場合分けをしたりすることはないと思うのですが・・・。

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解法を指定されてないなら、ベクトルなんか不要。

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Aベストアンサー

これで正解です。

>一つの基底で正射影し(x→a)、そこで求まったベクトルをもう一つに
>正射影する(xからaに正射影したもの→b)のでしょうか?

こうすると、aとbが直行するので、xがどんなベクトルでも0になってしまいますよね。

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【問題】「xyz空間内にA(1,2,3),B(2,3,2),C(1,4,-1)を取る。点Cの直線ABに関する対称点Dの座標を求めよ。」

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http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa5131555.html

正射影を使った解き方を方針だけでもよいので教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>正射影を用いた解法はないでしょうか?
正射影というか、もっと狭く内積を用いた解法ということですかね。

内積を使うと、#1の点Tは、
AT↑ = (AB↑・AC↑) / |AB|^2 × AB↑ … (1)
と直接求まります。
したがって、対称な点Dは、
AD↑ = AC↑ + 2(AT↑- AC↑)
 = 2(AB↑・AC↑) / |AB|^2 × AB↑ - AC↑ … (2)
です。

(1)なんですが、説明するのは図がないとなかなか難しいんですが、
1. AB方向の単位ベクトルb↑は、b↑ = AB↑/|AB| と書ける
2. AT↑ = |AC|cosθ×b↑ と書ける。ただし、θはAB↑とAC↑とのなす角
3. AB↑・AC↑ = |AB||AC|cosθ (内積の性質)
なんかを考えると出てきます。

Q正射影ベクトルについて

いつも有難うございますm(__)m


確認したいことがありますので、どなたか教えて頂けないでしょうか(>_<。)HelpMe!!

「xyz空間内にA(1,2,3),B(2,3,2),C(1,4,-1)を取る。点Cの直線ABに関する対称点Dの座標を求めよ。」

との問題の解説には、
正射影ベクトルを使った解法が載っていました。

同じような問題を、違う問題集で見かけましたが、
それも正射影ベクトルの解法になっていました。


そこで質問なのですが、
平面と同じような考え(CDの中点がAB上にあり、CDとABが直交)で
解いてもいいものでしょうか。

回答の「D(5,4,3)」はこの解法でも出たのですが・・・


もし、正射影を使わないといけなければ、頑張ってこの式を覚え、解けるようにならきゃ!と思ったのですが、私の方法でもいいのでしょうか?

京大(文系)の似た問題も正射影の解法(応用編として載っていました)でしたので、ちょっと不安になりまして・・・


どなたかよろしくお願いします(>_<。)HelpMe!!

いつも有難うございますm(__)m


確認したいことがありますので、どなたか教えて頂けないでしょうか(>_<。)HelpMe!!

「xyz空間内にA(1,2,3),B(2,3,2),C(1,4,-1)を取る。点Cの直線ABに関する対称点Dの座標を求めよ。」

との問題の解説には、
正射影ベクトルを使った解法が載っていました。

同じような問題を、違う問題集で見かけましたが、
それも正射影ベクトルの解法になっていました。


そこで質問なのですが、
平面と同じような考え(CDの中点がAB上にあり、CDとABが直交)で
解いても...続きを読む

Aベストアンサー

点A を(局所的な)原点とし、ベクトルAB = b, ベクトルAC = c を想定しましょう。
明らかに、問題の点セット A, B, C, D はすべて同一平面上にある。
つまり「平面と同じような考え(CDの中点がAB上にあり、CDとABが直交)で解いてもいい」はずですね。

内積を (x*y) と表記。
・c から b を含む直線への正射影(?)の長さ : (b*c)/|b|
・その正射影ベクトル : {(b*c)/|b|^2}*b = b'
・点C から対称点D へのベクトル : 2*(b'- c)
 


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