高1の数Aの問題です。

数学の補習でわからないところがあったので、質問させていただきました。

問題：ある大学の入学者のうち、ほかのA大学、B大学、C大学を受験した者全体の集合をA、B、C
　　　　で表す。n(A)=65, n(B)=40, n(A⋂B)=14, n(A⋂C)=11, n(A⋃C)=78, n(B⋃C)=55, n(A⋃B⋃C）=99のと
　　　　き、次の問いに答えよ。
　　　　(1)A大学、B大学、C大学すべてを受験した者は何人か。
　　　　(2)A大学、B大学、C大学のどれか1大学のみ受験した者は何人か。

答えは、(1)4人(2)73人なのですが、なぜこの答えになるのかがわかりません。
ベン図を描いても途中からわからりませんでした。

回答お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： shut0325 回答日時： 2013/08/19 16:20

懐かしいですね。

一般的な教え方（解き方）かどうかはわかりませんが、以下のように考えてみました。

最初にCを求めてみます。

65＋C-11=78なので、C=24　です。

次にn(B⋂C)ですが、 40+24-55=9

99-65＋40＋24-14-11-9=4　となります。

A/B/Cそれぞれの円の重複部分を切り取っていくと、A/B/Cとも重なった部分が抜けた形状になります。それをイメージするとよいと思います。


(2)は99から２つ以上重なった部分を切り取ればいいので、
99-（14-4）-（11-4）-9＝73です。

この回答への補足

(2)がよくわかりません›‹
どう計算したらいいのか…
ベン図を描いてもよくわかりませんでした…

補足日時：2013/08/19 21:15

No.3 回答者： taranko 回答日時： 2013/08/19 16:41

n(A)=65, n(B)=40, n(A⋂B)=14, n(A⋂C)=11, n(A⋃C)=78, n(B⋃C)=55,

n(A⋃B⋃C）=99
----------------------------------------------
n(A)=65　　Aを受験した人65人
n(B)=40　　Bを受験した人40人
n(c)=　　　Cを受験した人不明・・・(1)
n(A⋂B)=14　AとBの両方を受験した人14人
n(A⋂C)=11　AとCの両方を受験した人11人
n(B⋂C)=　　BとCの両方を受験した人不明・・・(2)
n(A⋃B⋃C)=99　AとBとCどれか1校でも受験した人99人
-----------------------------------------------
n(B⋃C)=55　　BとCどちらか1校でも受験した人55人
n(A⋃C)=78　　AとCどちらか1校でも受験した人78人
n(A⋃B⋃C)=99　AとBとCどれか1校でも受験した人99人
n(A⋂B⋂C)=　　AとBとCすべて受験した人不明・・・(3)


円を3つ書かれていると思いますが上の点線内がわかれば円の図は
ほぼ完成すると思います
(1)n(A⋃C)=78　n(A)=65　n(A⋂C)=11　を使います
78-65+11＝X
X=24
AとCのどちらか1校でも受けた人が78人、そこからAを受けた人65人を引き
AとCの両方受けた人11人を加えるとCを受けた人となる

(2)先ほどのn(c)=24と　n(B)=40　n(B⋃C)=55　を使います
40+24-X＝55
X=9
BとCのどちらか1校でも受験した人55人とBを受験した人40人とCを受験した人
24人を足し両方受験した人を引くと同じになる

(3)は点線の中を全部使います
65+40+24-11-14-9+X=99
X=4
ABCすべて足し重なっている部分を引くと3校全部受験した人が1回分引きすぎるので
3校全部受験した人をもう一度足してやるとAとBとCどれか1校でも受験した人99人

他にも解き方がありますが円のそれぞれの場所が何を意味しているのかと⋂⋃の意味と
両方理解できれば解けると思います。

No.2 回答者： shut0325 回答日時： 2013/08/19 16:26

No.1です。

　訂正です。

誤：99-65＋40＋24-14-11-9=4

正：99-(65＋40＋24-14-11-9)=4

でした。