No.2ベストアンサー
- 回答日時:
質量の定義:
M=∫∫∫[D] ρ(x,y,z)dxdydz
は閉領域Dの質量を表し、
特に密度ρ(x,y,z)=1のときは
V=∫∫∫[D] dxdydz
は閉領域Dの体積に等しくなります。
>∫∫∫dxdydz(x^2+y^2+z^2≦1)は単位球の体積で
>3π/4
これか半径1の球体の体積ですね。
>∫∫∫[D}(x^2+y^2+z^2)dxdydz(D:x^2+y^2+z^2≦1)は
>144π/5でこれっていったい何の数値?
球の中心からの距離r=√(x^2+y^2+z^2)に対し
ρ(x,y,z)=f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=r^2なので
この3重積分は、密度が球体の中心からの距離の2乗に比例する閉領域の立体の質量になります。中心の密度ρ(0,0,0)=0,球面の密道ρ(x,y,z)=1です。
なお、
>∫∫∫[D} f(x)dxdydz(D:x^2+y^2+z^2≦1)は
密度ρ(x,y,z)=f(x)と言うことなので、密度はx方向にのみ変化し、y,z方向には依存しないようなケースの閉領域の立体の質量になります。
詳しい解説ありがとうございます。密度が変化する立体の質量ということで理解しました。物体の密度がいつでも均一ということはないですからね。ありがとうございました。すっきりしました。
No.4
- 回答日時:
電荷密度を体積分すれば、その領域の全電荷になるとか、
三次元分布の確率密度を体積分すれば、点がその領域内にある確率になるとか、
「なんたら密度」が出てくる話が多いかな。
磁束密度だと面密度だから、「密度」なら何でも体積分する訳ではないけれど。
さて、貴方の x^2+y^2+z^2 の単位は、何じゃらほい。
次面だけから長さの2乗と決めつけることもできなくて、
値が 1 (で、単位だけは持っている)の係数が掛かっているかもしれないからね。
x^2+y^2+z^2 の意味をきかないことには、
∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz の意味は判らない。
なるほど!いろいろとあるものですね。大変勉強になります。こういった積分が何を表してるのかとかがあまりわからないまま、計算問題としてやっている人が多いような気がします。これからいろいろ勉強していこうと思います。ありがとうございました。
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