No.2ベストアンサー
- 回答日時:
三角形の内角の和は180°
180°= ∠A+∠B+∠C (1)
三角形xBCも、内角の和は180°
180°= 1/2(∠B+∠C)+∠x
2を掛ける
360°= ∠B+∠C+2∠x
整理して
∠B+∠C = 360°-2∠x
(1)に代入
180° = ∠A+( 360°-2∠x)
2で割る
90°= 1/2∠A+180°-∠x
整理して
∠x = 90°+1/2∠A
図には書いていないけれど、三角形のA以外の頂点を仮にB、Cとする
∠xBC = 1/2(180°-∠ABC) (2)
同様に
∠xCB = 1/2(180°-∠ACB) (3)
三角形の内角の和は180°
180°= ∠xBC+∠xCB+∠x
(2)(3)を代入
180°= { 1/2(180°-∠ABC)}+{ 1/2(180°-∠ACB)}+∠x
180°= 180°-1/2(∠ABC+∠ACB)+∠x
∠x = 1/2(∠ABC+∠ACB) (4)
三角形の内角の和は180°なので
180°= ∠A+∠ABC+∠ACB
∠ABC+∠ACB = 180°-∠A
(4)に代入して
∠x = 1/2( 180°-∠A)
∠x = 90°-1/2∠A
なーんかややこしい手順になってしまったけど、こんな感じ?
No.4
- 回答日時:
ひとつめの問題です。
ア+ア+イ+イ+ウ=180度ですね。
またア+イ+エ=180度です。
とするとエ=ア+イ+ウですね。
また、ア+ア+イ+イ+ウ=180度なのですから、これ2で割ると、ア+イ+ゥ/2=90度ですね。
とすると、エ(=ア+イ+ウ)は90度(=ア+イ+ゥ/2)よりウ/2だけ大きいことになりますね。ア+イ+ウ-(ア+イ+ゥ/2)=ゥ/2 ということです。だからエは90度+ゥ/2、ということになるのです。
ふたつめです。
外角の定理を使うと、ア+ア=ウ+エですね。同様にイ+イ=ウ+オです。このふたつの式をあわせると、ア+ア+イ+イ=ウ+ウ+エ+オですね。そして、ウ+エ+オは三角形の内角で180度ですから、今の式の「ウ+エ+オ」の部分を180度に変えましょう。するとア+ア+イ+イ=ウ+180度になりますね。この両辺を2で割ると、ア+イ=ゥ/2+90度なります。
そして、ア+イ+カも三角形の内角で180度です。ア+イは90度よりゥ/2だけ大きいのですから、カは90度よりゥ/2だけ小さいことになりますね。だからカ=90-ゥ/2、ということになるのです。
以上ですがいかがでしょうか。
No.3
- 回答日時:
図を載せられないので心もとないのですが、まず最初の方。
∠xを∠BOCとして、COの延長して辺ABとの交点をEとする。ここで、「三角形の2つの内角の和は、それ以外の内角に対する外角に等しい(*)」という、意味のとりにくい性質を使うと証明できます。∠B, ∠C の二等分線の等しい角ををそれぞれa, b とでも置いて考えてください。
(*)については、http://pothos.main.jp/html/naikakugaikaku.htm参照。
次のも同様に証明できます。∠Aのある方の三角形を△ABCとして、証明できます。この内角と外角の関係は、あなたが中学生なら、高校入試問題でよく使います。特に円の問題では、必須ですので、自力で証明をしてみてください。角度をa, b などと置いて操作するのも大切ですので、慣れるためにもがんばりましょう。
No.1
- 回答日時:
たぶんもっとエレガントな証明があると思いますが、
ちょっと考えてみたところ、力ずくでも導けました。
1
角CABの角度をa、角ABCの角度をb、角BCAの角度をcとする。
三角形の内角の和は180だから、大きい方の三角形に注目して、
a+b+c=180
b+c=180-a
1/2(b+c)=90-1/2・a
ここで小さい方の三角形に注目すれば、
x=180-1/2(b+c)
すなわち
x=180-(90-1/2・a)
よって
x=90+1/2・a
2はめんどくさいからやってませんけど、結局同じことじゃないですかね。
「三角形の外角の和は360だから」から始まって、
それぞれの角を足したり割ったりして、最後に右側にできた三角形に注目すれば、
公式が導けると思います。こっちは申し訳ないけど自分でやってみてください。
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