一つの前提から２つの結果は導けるのか

別の質問で、次のような指摘をいただきました。

私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」

相手：「２次方程式の根が２つあるように、それは許されている」

私としては、矛盾する結果を導く過程も正しいとするなら、
ある前提からある結果を導いたことにどんな正当性があるんだろうと思います。

具体的に意見が一致しなかったのは、以下の事項についてです。

(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数

私は a^0 をこれを前提として求めることはできないと思います。

でもその人は、
a^1=0, a^2=0, a^3=0
と続くから、a^0=0 とすることも正しいといいます。

数学的には、どちらが正しいのでしょうか？

該当する質問が終了してしまったので、こちらで質問致します。

No.29 回答者： jmh 回答日時： 2013/10/25 00:36

> 私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」

矛盾を１つ導けたのなら、２つ目を導くはもっと簡単だと思います。


> 私としては、矛盾する結果を導く過程も正しいとするなら、
> ある前提からある結果を導いたことにどんな正当性があるんだろうと思います。
証明 (導出の過程) が (形式的に) 正しいっていうのは、それが数学の定理だってことです。数学の定理の中には (心理的に) 正当性がないように見えるものもあります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/25 04:52

No.28 回答者： alchool 回答日時： 2013/10/25 00:31

結局貴方は何が言いたいのですか。

＜＜私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」
＜＜矛盾する結果を導く過程も正しいとするなら、
＜＜ある前提からある結果を導いたことにどんな正当性があるんだろうと思います。

どのような値もとりうる可能性があるという事を示そうとして
x=0も条件を満たしうることを示唆することに矛盾も何もないでしょう。
テストの例を深く掘り下げても意味が無いのでそれ以上は答えません。
「解答欄に答えを全部書かなければならない」などという追加前提がついた
テストの採点などを引き合いに出すこと自体が馬鹿げていると言っているつもりです。
貴方が他者の意見にフィルターをかけて、歪んだ解釈をしていることそのものを批判しているのです。

貴方は僕のよみ違えでなければ
最初文脈上「0^0=1」と「0^0=0」なる２つの結果は矛盾していると表現していたはずですが。
ここまでのらりくらりと、意見を改変して凌いでいます。

＜＜私は矛盾することを示すことで、数学的な論理でないことを証明しようとしたのですが、

言いがかりをつけることが、貴方の中での証明なのでしょうか？
一例だけで気に喰わないのならきちんとwikiを読んですべての場合、
すなわち関数abs(x^y)が様々な方法で、0^0なる解に収束した場合をきちんと読めばよいのです。

＜＜で、次の点を確認します。
＜＜「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」は正しい
＜＜「a^0を(1)(2)から導くことはできない」は正しい
＜＜「a^1=0, a^2=0, a^3=0 と続くから a^0=0」とする数学的に真っ当な推論は存在しない。

漠然とし過ぎていて、正しいとも正しくないとも言えません。
通常「導く」という行為は、前提に対して前提を積み重ねる行為です。
つまり論理そのものがある種の自明な前提です。
論理学的な設定とは言えません。
これは揚げ足取りではなく、本質的なことです。

a^0関する発言でも気になる事があります。
上記の3点が正しいかどうか以前にまず例として、
今から矛盾した結論を導きます。誤りがあるので指摘してください。
つまり矛盾を生じさせた原因を指摘してくださいということです。
基本ができていればすぐに指摘できるはずのものです。
（多分ここの回答者ほぼ全員が十数秒から数分で指摘できる思います）
話はそれからにします。

a=bとおく
両辺にaをかけると　　　a2=ab
両辺からb2を引くと　　　a2-b2=ab-b2
因数分解すると　　　　(a+b)(a-b)=b(a-b)
両辺を(a-b)で割ると　　a+b=b
a=bより　　b+b=b⇒2b=b

よって2=1

この回答へのお礼

> 結局貴方は何が言いたいのですか。

誤解だったと言ってもいいのですが、こういうことです。

> どのような値もとりうる可能性があるという事を示そうとして
> x=0も条件を満たしうることを示唆することに矛盾も何もないでしょう。

それならば、何の矛盾も生じません。
「a^1=0, a^2=0, a^3=0 と続くから a^0=0」
と書かれた時に、テストの例のように解釈して、０以外の可能性を排除してるんだと受け取っていました。
普通の推論での解というのはそういう性質を持ってますから、勘違いしたんです。
０も条件を満たしているのが示されただけならば、何の問題もありません。
ただ、証明済みのことを、何故こんなに手順を踏んでわざわざ言うのだろうという疑問は残りますが。

> 貴方は僕のよみ違えでなければ
> 最初文脈上「0^0=1」と「0^0=0」なる２つの結果は矛盾していると表現していたはずですが。

２つがそれぞれそれ以外の可能性を排除しているなら、矛盾だと思います。
１の場合もある、０の場合もあると解釈してしまえば、矛盾にはなりません。
0^0 の値を決めるに際し、無視していい条件ということなら、無視すればいい。
そういう無駄なことが書かれている可能性を失念していました。

> 言いがかりをつけることが、貴方の中での証明なのでしょうか？

そういう証明方法もあるでしょう。
ある計算結果が怪しい時、そこから導ける簡単な結果を前提に戻って確認することはよくあります。

> 今から矛盾した結論を導きます。誤りがあるので指摘してください。

a=b だから a-b=0 つまり０除算をしている。当然その前に０になる計算をしている。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/25 04:49

No.27 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/25 00:26

>> でも 0^(-1)=0 ってどうやって出しました？

>指数法則が成立すれば、そうなるね。

なんだ。答えられないんだ。根拠無かったのね。

不毛なのでもうやめときます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/25 04:11

No.26 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/25 00:09

>>「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」は正しい

>正しくありません。#19参照。例えば存在し得ることを確認しないまま
>存在すると仮定して前提をつくり、矛盾を導いてしまうというのは良くやるミスです。
>前提は無矛盾でなければなりません。これがついていれば正しいです。

書き忘れましたが、矛盾とは解の中に P∧￢P=真が含まれることです。
そういう意味で、2つの結果という表現は変ですね。

矛盾のない前提から矛盾を含む解を導けないですね。

導けたら前提は矛盾しているからあたりまえか・・・

この回答へのお礼

論理学は苦手ですから、省略します。
ごめんなさい。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/25 04:09

No.25 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/24 23:43

>「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」は正しい

正しくありません。#19参照。例えば存在し得ることを確認しないまま
存在すると仮定して前提をつくり、矛盾を導いてしまうというのは良くやるミスです。
前提は無矛盾でなければなりません。これがついていれば正しいです。

>「a^0を(1)(2)から導くことはできない」は正しい

正しいです。

>「a^1=0, a^2=0, a^3=0 と続くから a^0=0」とする数学的に真っ当な推論は
>存在しないでいいですか？

「a^1=0, a^2=0, a^3=0 と続くから a^0=0」は推論では有りません。
規則の例外を減らそうとして「自然な拡張規則」を模索しているだけです。
そこから得られる結論が条件を満足する保障は全くありません。
うまくゆくのはたまたまでしょう。

(3)に「自然な拡張規則」を追加することが (1), (2) を満足することは
数学的な必然ではないですよね。うまくゆく条件を試行錯誤で決めただけです。
もしそれが広範囲の規則の例外を減らしてくれて無矛盾なら、標準の規則として
採用されることもあるでしょう。

この回答へのお礼

> 前提は無矛盾でなければなりません。これがついていれば正しいです。

> 正しいです。

認識は一致しましたね。

> 「a^1=0, a^2=0, a^3=0 と続くから a^0=0」は推論では有りません。

一致。

> 「自然な拡張規則」を模索しているだけです。

模索段階のものを使うのは、真っ当な推論ではありませんね。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/25 04:04

No.24 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/24 23:14

>前提(2) a^(p+1) = a^p * aなのだからa=0、p=-1の時これを代入して

えーと、(2)では p=-1 は対象外なんです。

なので(1)～(2)だけではなんでもありなんですが、既存のルールを適用してます。

ただ pが正数やpが0以上の正数というのはいろいろとうっとおしいので、
ルールを変更したほうがよいように思えます。

この回答へのお礼

今回の質問では、まだ負の指数をどうやって定義するか決めてないので、
対象外とも、そうでないとも言えません。

拡張するという考え方を取るなら、代入できるのが当たり前だし、
たとえどんなルールで負のべき乗を定義したとしても、
結果として出来た関数は、その指数を代入すれば、(2)は成り立つ必要があります。

前の質問では逆数を使っていたので、(2)はp=-1を対象外としてて良い。
逆数の定義を使わなければ、拡張せざるを得ないから、p=-1も許可されます。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/25 03:55

No.23 回答者： alchool 回答日時： 2013/10/24 22:52

＜＜併せて一つの結論ですので、矛盾はありません。

＜＜(1)(2)から得られることは、それがすべてです。

＜＜あなたが正確に記憶してないのなら、その話をしても無意味です。

結局貴方主張した「2つの矛盾した結果」について、僕は現在まで納得できるような回答は得られていません。
「貴方が覚えていないなら不毛です」というのは理由になっていませんし、
僕には当てはまらないことなので僕個人は回答を待っています。

＜＜これが成立しないと、0^-1=0 となってしまうようなものなのですが、
＜＜皆さん気にしませんね。

なりません。
前提(2) a^(p+1) = a^p * aなのだからa=0、p=-1の時これを代入して
0^0 = 0^（-1）*0
よって
0^（-1)=0^0*0/0
0/0は-∞も∞も許されるから結局「不定」となります。
0には定まらない。
答えを前提から0^-1=0と導いてテストの回答を先生に出したらそれこそバツですね。
No.21を読むと同じ間違いを何度も犯しているようなのですが、そんなんで本当に大丈夫ですか？
まあでも確かに0^-1が∞でも-∞でもなく「不定である」というのはよろしくないことです。
wikiも前提(1)(2)をゴリ押しするということはせず、連続性・及び収束性（ほぼ同じことだけど）
の議論に重点を置いています。
貴方はwiki「0の0乗」の「冪関数が連続性を持たないこと」を最後まで読みましたか？
最後には
「・・・0＾0 はうまく定義されないことが了解されよう。」
と書かれています
この連続性の主張は
「a^1=0, a^2=0, a^3=0だからa^0=0 と置くことも正しい」という主張と本質的にそう変わりまりません。
ただいろんな方法で0^0乗に近づけていく（収束させていく）と0にも無限大にも何らかの定数にもなりえる
ということから、「定義されるべきでない」としているんです。
wiki「0の0乗」の中に登場する図（x^yの絶対値）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1% …
は様々な近づけ方で0^0に接近していった場合を図示しています。
それぞれの緑や赤のラインを辿っていくと、0^0は、0にもなり、1にもなり、2もなります。
この考え方の中ではどれも等しく0＾0に等しい資格があるということです。
これも「ポピュラーな説明」です。

＜＜いずれにせよ、前半と後半に誰も異論がなければ、これで終了です。

既に述べましたが、話がまるで繋がっていないということに全く賛成です。

＜＜wikiにも書いてあるポピュラーな考えですが、「数学的な理由」はありません。

どのような考えで「数学的な理由ではない」と書いているのかはわかりませんが、
何か数学的な前提から演繹的に導いていくということはそれ自体は良いことだと思います。
wikiに有るように0^0を1と置いて方が都合が良いという主張も無碍にはできません。
ただ、どうもポピュラーな定義というものを知らずに、自分の主張ばっかり押し通そうとしているように見えるので、
次はきちんと勉強してからお願いします。
一般的な回答を調べる前に、相手の主張の意味を深く考える前に、まず口が先にでいているように感じます。
ポピュラーな説明を回答者から教えてもらってそれに対して偉そうに口弁を垂れるなんて
事は見ていて腹が経つので是非この瞬間からやめてください。
貴方の方が知識があって理解も深いのであれば納得もできるものですが
実際には基本的な事ができておらず、口弁を垂れる資格が有るように思えません。
貴方の質問に回答が多くつくのは、貴方の質問が魅力的であるからではなく、
貴方の受け答えに不快感を表す人が多いからです。

どこかで新しい前提でまた議論を始めるのであれば
特に「冪関数が連続性を持たないこと」は最低限理解してからにしてください。
連続性・収束、あと複素数についてです。「(3) a^(-p)=1/(a^p) ただし a,pは実数」
で定義するなら、複素数が必ず含まれます。
議論し始めたものの「-2の1/3乗が何かわからない」ではお話になりません。

この回答へのお礼

> 結局貴方主張した「2つの矛盾した結果」について、僕は現在まで納得できるような回答は得られていません。
> 「貴方が覚えていないなら不毛です」というのは理由になっていませんし、
> 僕には当てはまらないことなので僕個人は回答を待っています。

私の記憶は質問文に書いた通りですし、それを相手とすりあわせて確認したとしても、
質問の前半は変わりありません。

もし、後半部分を変えてしまうと、質問自体を変えたことになり、
質問文と回答に齟齬が出来るという問題も発生します。
たとえ最初の記述が勘違いだったとしても、質問内容は変更すべきではありません。

また、＃１６で元の話として書かれた内容は、私が「2つの矛盾した結果」と考えたものはありません。
その部分の記憶を蘇らせたとしても、結局あなたに該当箇所を示すことはできません。
そんな問題があったのか、という疑問には答えられるでしょうけど。

> なりません。

(3) がない時、指数法則がどうなるかを考えて出てきた疑問です。
指数法則が成立しない理由が無いのだから、成立してると考えるのが自然です。
…という考え方もあります。

> 前提(2) a^(p+1) = a^p * aなのだからa=0、p=-1の時これを代入して
> 0^0 = 0^（-1）*0
> よって
> 0^（-1)=0^0*0/0
> 0/0は-∞も∞も許されるから結局「不定」となります。
> 0には定まらない。

「不定」に０を掛けると、何になりますか？

> ただいろんな方法で0^0乗に近づけていく（収束させていく）と0にも無限大にも何らかの定数にもなりえる
> ということから、「定義されるべきでない」としているんです。

他にも同じような性質を持つ関数はあるでしょうけど、それらも含めて「定義されるべきでない」と思いますか？

> それぞれの緑や赤のラインを辿っていくと、0^0は、0にもなり、1にもなり、2もなります。
> この考え方の中ではどれも等しく0＾0に等しい資格があるということです。
> これも「ポピュラーな説明」です。

それらは、いずれにも資格はありません。
定義されるかどうかのみで資格は決定します。

> 特に「冪関数が連続性を持たないこと」は最低限理解してからにしてください。

偏見を持たせてしまっているようですが、
複素変数の正則性が理解できるくらいの知識は得ています。

その文章は何度も読んでますし、十分理解してるつもりですが、
私からすると、若干でも 0^0=1 に疑問を持つような内容ではありません。

というより、そのページの内容はすべて０の０乗の性質を正確に表してはいますが、
一般的な関数で、そこにある性質をすべて備えて、関数値はちゃんとある関数も作れます。
よって、そこに書かれた項目を基にして、定義できない理由だと思うことはできません。

象が泳いでるのを日常的に見てる人に、いかに泳ぎが困難か説明されて、
それがまったく泳げない理由に感じられないのと似ているかも。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/25 03:31

No.22 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/24 22:09

>あなたが正確に記憶してないのなら、その話をしても無意味です。

>今回の質問内容は、質問文に書いたのがすべてですし、それ以外の話をする気はありません。
>私には、あなたが本人かどうかも確認しようがないのですよ。

撤退ですか。判りました。fusem23さんはあっちこっちで同じ議論をされているので
直ぐにわかるんですが、前回半分くらいは私の発言だったんですが覚えてませんかね？
まあ、おなじみさんがたくさんいたので、確認していただける方はたくさんいると思いますが、
不毛なのでどうでもよいです。

では、質問の内容の後半の話ですが、

・(1), (2)から 0^0 を決定できない

と

・0^0=0 とすることは正しい( 正しい = (1), (2) を満たす )

は矛盾しません。

・0^0=0 だけが正しい。

とは矛盾します。

以上です。

この回答へのお礼

> ・(1), (2)から 0^0 を決定できない

> と

> ・0^0=0 とすることは正しい( 正しい = (1), (2) を満たす )

> は矛盾しません。

> ・0^0=0 だけが正しい。

> とは矛盾します。

はい、分かりました。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 23:38

No.21 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/24 20:58

>そうしてる、と言えなくはないです。

いや、してます。
>(3) a^(-p)=1/(a^p) ただし a,pは実数
>という定義を付け加えようかと考えてます。
>べき乗における逆数の定義ですね。
>
>これをテコにして、0^0=1 を主張しようかと。
>
>これが成立しないと、0^-1=0 となってしまうようなものなのですが、
>皆さん気にしませんね。

3)は元々 a=0 は対象外だから、拡張を取りやめると a=0 に
関しては働きません。

でも 0^(-1)=0 ってどうやって出しました？

a^p は a=0, p=0 以外の部分は既存の定義を弄らないっていうのが大前提でしたよね？

なので、0^(-1)=未定義。これかくの何回目かな～。

まあ、完全を期すなら、こうした情報も条件に加えてゆくべきでしょうね。

あと、「成立しないと」じゃなくて「拡張しないと」が正しいです。
条件の部分否定をいつのまにか全否定にしてっしまうのはfusem23さんのよくやるミスですので
注意してください。

この回答へのお礼

> でも 0^(-1)=0 ってどうやって出しました？

指数法則が成立すれば、そうなるね。

> a^p は a=0, p=0 以外の部分は既存の定義を弄らないっていうのが大前提でしたよね？

> なので、0^(-1)=未定義。

0^(-1)=1/0 と書いたところで、未定義でなくなるとは思えません。
よって、既存の定義はいじってません。

> あと、「成立しないと」じゃなくて「拡張しないと」が正しいです。

前者は結果を評価してて、後者は行為の有無のこと。
私が文の後半で言ってることは、「成立する」かどうかの結果で決まりますから、
種類が色々ある「拡張」では判断できません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 23:29

No.20 回答者： alchool 回答日時： 2013/10/24 20:02

貴方が理系の人間では無いのはよくわかりました。

＜＜認めるのに時間は関係ありませんから、「共に」がしっくり来ます。
「同時に」という言葉は別に時間的な同時だけだけを示す言葉ではありませんよ。
「共に」と同じ意味で頻繁に使用される言葉です。
訂正する必要はありません。「同時に」で良いのです。
これも質問を立てて聞いてみますか？

＜＜解が定まらないのに「解はx=1」と答えるとバツを貰うのがその証拠です。

その先生は答えが「矛盾している」からバツをつけるのですか？
違うでしょう。
全ての解を書かなければ正しい回答では無いからです。

＜＜解が定まっていないと答えた後で、解は０だと答えても矛盾ではありませんか？

tknakamuri氏は「解が0しか無い」「0＾0＝0しか認めない」といったのですか？
「a^0=1だけが答えではなくa^0=0 とすること｛も｝正しい」と言ったのでしょう？
なにも矛盾などしていません。
おそらく貴方が「解はa^0=1しかない」「a^0=1しか認めない」と書いたのに対して
tknakamuri氏が「いやいや0^0=0としても良いのだからその理屈は通らない」
と回答したのではないですか？
（そもそもそのような論争をしていないと本人は書いてますが）

実際問題
解が定まらないテストに「解はx=1しかない」と書いた生徒がいたらどうしますか？
別の解「x=0」を方程式に当てはめてみて「ほらこの解も方程式を満たすでしょ」と教える先生は多いはずです。
その生徒が後で先生に対して「答えは未定」なのに僕に「x=0」だと教えた。
間違った回答を教えた先生が悪い！と文句を言うべきでしょうか？
それはx=0のみが答えだと思った生徒が悪いんです。

「解は不定である」と「解はx=0でもよい」という2つの命題は矛盾ではなく
「解は不定である」と「解はx=0しかない」という2つの命題が矛盾なのです。

この違いがわかりませんか？

全体的に貴方の主張には全く一貫性が見られません。
私の質問に対しても理解していないか、知らないふりをしているようです。

＜＜「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」
＜＜私としては、矛盾する結果を導く過程も正しいとするなら、
＜＜ある前提からある結果を導いたことにどんな正当性があるんだろうと思います。
。
tknakamuri氏は一体何処で矛盾する「2つの結果」を導いたのでしょう？

貴方の今現在の主張は揚げ足取りにしか聞こえません。
自尊心を守るためのつまらないあら探しでしかないように思えます。

この回答へのお礼

> その先生は答えが「矛盾している」からバツをつけるのですか？
> 違うでしょう。
> 全ての解を書かなければ正しい回答では無いからです。

すべての解を書くための回答欄に、
「解が定まらない」と書けば、xはすべての値を取る
「x=1」と書けば、xは1という値だけを取る
とそれぞれ解釈されます。

この２つの命題が同時に成立すると思うのですね？

> 「解が0しか無い」「0＾0＝0しか認めない」といったのですか？
> 「a^0=1だけが答えではなくa^0=0 とすること｛も｝正しい」と言ったのでしょう？

0^0=0とすることも正しい、ですね。質問文に書いてます。

なんとなく、問題点が見えてきました。

確かにa^0を数学的な方法で求めることはできないのだから、
誰がどんな理屈をつけて 0^0=0 だと言ったところで、矛盾はありません。

私は矛盾することを示すことで、数学的な論理でないことを証明しようとしたのですが、
方法論を間違ったようです。

で、次の点を確認します。
「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」は正しい
「a^0を(1)(2)から導くことはできない」は正しい
「a^1=0, a^2=0, a^3=0 と続くから a^0=0」とする数学的に真っ当な推論は存在しない
でいいですか？

私は、「a^0は決められない」に「a^0=0とすることもできる」を加えたとしても、
矛盾しないことを認めます。（そもそも何の効果も持たない命題だから）

ただし、定義域に違いはありますから、それはいいように考えておきましょう。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 22:48