一つの前提から２つの結果は導けるのか

別の質問で、次のような指摘をいただきました。

私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」

相手：「２次方程式の根が２つあるように、それは許されている」

私としては、矛盾する結果を導く過程も正しいとするなら、
ある前提からある結果を導いたことにどんな正当性があるんだろうと思います。

具体的に意見が一致しなかったのは、以下の事項についてです。

(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数

私は a^0 をこれを前提として求めることはできないと思います。

でもその人は、
a^1=0, a^2=0, a^3=0
と続くから、a^0=0 とすることも正しいといいます。

数学的には、どちらが正しいのでしょうか？

該当する質問が終了してしまったので、こちらで質問致します。

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/24 14:46

>でもその人は、

>a^1=0, a^2=0, a^3=0
>と続くから、a^0=0 とすることも正しいといいます。

「そのひと」は私です。

条件に、a=0 が落ちてますね。

0^0 が存在すると仮定すると、 1 である必然性があるかという
話です。

3^0 = 1, 2^0 = 1, 1^0 = 1 だから 0^0 = 1

という候補と

0^3 = 0, 0^2 = 0, 0^1 = 0 だから 0^0 = 0

という候補のどっちがよろしいかという話。

複数の可能性があること自体が矛盾であるというのが
質問者さんの主張です。
もっと指数法則の条件があったんですが
省略されちゃってますね。もう思い出せません(^^;

この回答へのお礼

> 0^3 = 0, 0^2 = 0, 0^1 = 0 だから 0^0 = 0

> どっちがよろしいかという話。

軍配は明らかかと。
だから、そこは遠慮しておきます。

この質問の主題でもないし。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 17:18

No.8 回答者： birth11 回答日時： 2013/10/24 14:16

ある一つの前提から2つの矛盾する結果を導けときとは、

計算過程が誤っているにも限らず、それに気づいていないときです。
計算過程があっているのに矛盾する結果が現れるとき、
そうならないように数学界で、修正していくものです。

この回答へのお礼

矛盾はすみやかに解消すべきですね。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 17:07

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/24 14:10

＞「ある一つの前提から」という条件で「２つの結果」を導いてください。

はいはい。

前提(x-3)(x-1)=0
結論 x=3 又は x=1

矛盾しません。以上。

この回答へのお礼

＃１１と一緒に答えたいと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 16:25

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/10/24 13:43

まず具体的な本件については「その人」がおかしい. この (1), (2) だけからは指数として正整数しか取れないし, それを置いたとしても 0, 0, ... と続くからと言って「最初も 0」とはならない.

ただし, 一般的には「一群の前提から矛盾する複数の結果を導くことができる」という状況は存在する.

この回答へのお礼

> 一般的には「一群の前提から矛盾する複数の結果を導くことができる」という状況は存在する.

もう少しヒントはもらえませんか？

不完全性定理に関することかもと思ったりもしましたが、これだけでは分かりません。

> まず具体的な本件については「その人」がおかしい. この (1), (2) だけからは指数として正整数しか取れないし, それを置いたとしても 0, 0, ... と続くからと言って「最初も 0」とはならない.

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 14:33

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/10/24 13:42

a^p … a ∈ {実数全体}, p ∈ {非零の正整数}　だとして、

>(1) a^1 = a
>(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数

から、「定義域が前提に含まれていない a^0 求めることはできない」と推論するのは、当然といえば「左様、ごもっとも」です。

常用の算数では、a≠0 の場合について　p ∈ {整数} へ拡張しており、それはそれで妥当らしい。
その範囲では「a^0 を求めることができない」ともいえません。

けど、貴方の論旨とは微妙にズレてるような気もします。

もう少し、パラフレーズしてみれば…。

　　　

この回答へのお礼

> 常用の算数では
と前提を変えてしまってますね。

常用してるべき乗と、(1)(2)だけからなる前提とを混同してませんか？
指数を整数へと拡張してる場合には、拡張するための前提が加えられてる筈です。

(3) a^0=1 ただし a≠0
(4) a^-p=1/(a^p) ただし a≠0

とする場合が多いですね。
これでもまだ 0^0 を求めるには足りませんが、さらに何かを加えて a^0=0 という結果を得たとする。

果たしてこれで「一つの前提から」と言えるでしょうか？
私も前提を増やせば結果が変わるのは理解していますよ。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 14:27

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/24 12:45

簡単です。

例を示します。

x=1 かつ x=3 は真 ⇒ 矛盾
x=1 ならば x=3 は真 ⇒ 矛盾
x=1 または x=3 は真 ⇒ 矛盾ではない。

結論が２つあるだけでは矛盾ではないのです。

この回答へのお礼

「x=1 かつ x=3 は真」は偽
「x=1 ならば x=3 は真」は偽
「x=1 または x=3 は真」は真
だと思います。

「ある一つの前提から」という条件で「２つの結果」を導いてください。
その上でなければ、例にはなりません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 12:56

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/10/24 12:04

「前提」をどうやって数えるのかが分からんのだけど....

「一群の前提から矛盾する複数の結果を導くことができる」という状況は, 数学的には存在します... というか, 存在してくれないと困る.

この回答へのお礼

> 「一群の前提から矛盾する複数の結果を導くことができる」

その場合、数学的な正しさとはどういう意味になりますか？
一群の前提から結果Aを導いたとして、それは結果Bが存在しないという意味にはなりません。
では結果Cは？結果Dは？と続いていき、結局何も証明していない気がしますが。

もちろん、「前提」を実数解を求めることから複素数解を求めることに変えたりすれば、
別の結果を導くことはできます。

でも質問した内容の場合、(1)(2)には何の変更もなく、それ以外の何かを変えたという記述もありません。
そういう場合にも、複数の結果が導かれることはあるんでしょうか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 12:48

No.1 回答者： itshowsun 回答日時： 2013/10/24 11:51

定義域の問題ではないでしょうか？

a^0 = 1 であるような実数 a の定義域には 0 は入らない。
a^0 = 0 であるような実数 a は 0 のみの定義域である。
前提にこの定義域が入っているはずだと思います。

この回答へのお礼

# a の定義域は実数全体と考えてください。

a^0=1 であるとか、a^0=0 であるとか書いてありますが、
そもそも、この関数の定義域は指数が正の整数ではないですか？

だから私は、a^0 を求めることができないと考えたのですけれど、
a^0 という定義域が前提に含まれているはずだというのはおかしくないですか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/24 12:33