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2つの円の交点を結んだ直線はその2つの円の中心を結んだ直線と直角に交わるという事実はいつ教わるのでしょうか?
センター試験の過去問(2009本試1A第3問)で初めて知りました。もっと前の過去問にも同様の出題があり、些細なことなのですがよろしくお願いします。

なんとなくはわかるのですが、本当にそうなのか?と考え始めるとよくわからなくなってきます。

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A 回答 (4件)

「いつ教わるのか?」を聞きたいということならば、


円と二等辺三角形の性質から導けますので、中学生でもいけるのかもしれませんが、遅くとも数1の平面図形の範囲には入るでしょうね。

「直交することの証明」をしたいということであれば、
「円の中心」と「2つの円の交点(2か所)」の三点を結んでできる三角形は、「円の中心」から出る2つの辺が円の半径であることに着目すれば二等辺三角形であることがわかるから、「円の中心」から「2つの円の中心を結んだ直線」への垂線はその直線の中点に下りる。もう一方の円についても同じ。
ことを、図を書きながら確かめてみればわかると思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
整然としていてわかりやすい解説有り難うございます。
理屈上はわかりました。

もう少し演習を積んでおきたいと思います。

お礼日時:2013/11/21 14:31

 教科書が手元にないので、はっきりしたことは申せません。

しかし、少なくても中学3年生で「2つの円」という節があればそこで習うのではないかと思います。あるいは、直交することを証明する練習問題や2円が交わる計算問題などで使われます。
 証明は、例えば円の中心をO, O'とし、2円の交点をA, Bとして、OO'とABとの交点をHとして、△OAH≡△OBH(△O'AH≡△O'BHでもよい)をいうことで証明できます。注意してほしいのは、2円の大きさが異なっても成り立つことです。もし2円の半径が等しければ、△OAH≡△O'AHをいうこと、あるいは四角形OAO'Bがひし形になることからでも証明できます。この時には、垂直二等分線の作図と同じ意味になります。
 現在まで知らなかったのは、不幸中の幸いですね。ベクトルを使って証明してみるのも、理解を深めると思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
早速、中学生向け参考書を買ってきます。

お礼日時:2013/11/21 14:22

交点を結んだ直線を基準に考え、垂線とか垂直二等分線とかの「作図」をイメージすればよいかと。

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この回答へのお礼

回答有難うございます。
たしかにそうですね。

お礼日時:2013/11/21 14:23

中学校の幾何で学んでいるはずです。

それも最初のほうで・・
円上の二点と中心でできる三角形は二等辺三角形です。中心からの垂線は・・
「2つの円の交点を結んだ直線と中心を結んだ」の回答画像2
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
でも・・・ごめんなさい。
自分の頭が悪いのでちょっと良くわからないです・・・。
図まで用意していただいたのに本当に申し訳ないです。

お礼日時:2013/11/21 14:26

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Aベストアンサー

教科書風の証明としては、No.7さんの雰囲気で、

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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

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中3数学の「三平方の定理」を利用すると、半径は42/13と求まります。
ただ今の時期、そこまで授業が進んでいるとも思えません。
なので中2数学までの知識で解く方法があるのかもしれません。

三平方の定理を利用した解法を一応書いておきます。
基本は「三角形に内接する円の半径の求め方」と一緒です。
「実際の△ABCの面積」と「円の半径rを用いて表した△ABCの面積」を求め、
この二つが一致することを利用します。

[1]
点Aから辺BCに向けて垂線AHを引きます(点Hは辺BC上の点)。
そして線分AHの長さを求めます。
このAHの長さを利用して、△ABCの面積を求めます。

[2]
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まず△ABCを次の4つの図形に分割します。

△ABO
△ACO'
△AOO'
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[3]
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この二つが一致することを利用します。

[1]
点Aから辺BCに向けて垂線AHを引きます(点Hは辺BC...続きを読む

Q2本の線に内接する円の中心を教えて下さい。

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Aベストアンサー

 
こうすれば判りませんが?
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30-(r×tan(90-a))
 

Q解析学の質問です

解析学の問題を次のように解きましたが、答えが分からず難儀しています。
どなたか、アドバイスをください。
よろしくお願いします。

問題
 曲線 r^2 = 2a^2 cos2θ の直角座標における方程式を求めよ

答え
 【前提として、次が成り立つことはテキストに明記されていました】
 x = r cosθ ,  y = r sinθ ,  r = √(x^2 + y^2) ,  tanθ = y/x

 左辺 = x^2 + y^2
 右辺 = 2a^2 cos2θ = 2a^2*2*(sinθ*cosθ) = 2a^2*2*(y/r*x/r) = 4a^2*xy/(x^2+y^2)
 よって、この方程式は、 (x^2 + y^2)^2 = 4a^2xy となる。

 
 以上の形になるのですが、この方程式は果たして何なのでしょうか。
 そもそも、答え方が間違っているでしょうか?
 本当はテキストを熟読して自己解決したいのですが、不運なことに大学で指定されたテキストは、問題の答えや解法が記載されていないので、類題などを発見しても参考にすることができず、何時間も「答え方を勉強できるテキストのページはどこか」を探すことに費やしてしまって、クタクタです。
 通信教育で学んでいるため、気軽に質問をすることもできないので、こちらを頼りにさせてもらおうと考えた次第です。
 どうか、「勉強すること」を助けていただけますよう、皆様のご助力をお願い申し上げます。

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