数Aの問題で分からないのがあるので解説をお願いし たいです。 △ABCの外心をO,直線BCと外接円の

数Aの問題で分からないのがあるので解説をお願いし たいです。

△ABCの外心をO,直線BCと外接円の交点をDとする。また、垂心をH,AHと直線BCの交点をEとするとき、次の問に答えよ。

(1)四角形AHDCが平行四辺形であることを証明せよ。

(2)∠BAC＝75ﾟ、∠ABC＝45ﾟ、外接円の半径が2であるとする。また、直線AHと外接円の交点をFとするとき、CH、∠CBF、BE、EFを求めよ。

お願いします。

質問者からの補足コメント

• 訂正します。
  
  直線BOと外接円の交点をDとする
  
  でした。

    補足日時：2018/03/19 00:38

No.3 回答者： jyuguritto 回答日時： 2018/03/24 21:49

参考まで。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/19 11:57

No.1です。

「補足」を見ました。

＞直線BOと外接円の交点をDとする

これも、ちょっとおかしいですね。
「線分BOの延長線が、Ｂ以外で外接円と交わる点をDとする」
あるいは
「直線BOの、Ｂ以外での外接円との交点をDとする」
ということですね？　

ついでに、(2) の
＞直線AHと外接円の交点をFとするとき
も
「線分AHの延長線が、Ａ以外で外接円と交わる点をＦとする」
あるいは
「直線AHの、Ａ以外での外接円との交点をＦとする」
ということですね？

それなら

(1) BD は外接円Ｏの直径なので、直径に対する円周角なので
　∠BAD = ∠BCD = 90°
つまり
　AD ⊥ AB、CD ⊥ BC
かつ、H は垂心なので
　CH ⊥ AB、AH ⊥ BC
従って
　AD // CH、CD // AH
よって、向かい合う辺がそれぞれ平行なので、四角形AHCDは平行四辺形である。

(2) 図を書いて、各々の角度を書き込んでみれば分かるでしょう？
図を書かずには解けませんよ。

　∠ACB = 180° - (75° + 45°) = 60°、∠BCD = 90°
なので
　∠ACD = 30°
同じ弧 AD に対する円周角なので
　∠ABD = ∠ACD = 30°
よって
　AD = BD*sin∠ABD = 4 * sin(30°) = 2
AHCDは平行四辺形なので
　CH = AD = 2　　　　　　　　　①

AH // DC より
　∠CAH = ∠ACD = 30° = ∠CAF
同じ弧 CF に対する円周角なので
　∠CBF = ∠CAF = 30°　　　　　　　②

∠CAF = 30° より ∠BAE = 45° なので
　BE = AB/√2
ここで、
　AB = BD*cos∠ABD = 4 * cos(30°) = 2√3
なので
　BE = 2√3/√2 = √6　　　　　　　③
　
また
　EF = BE*tan∠CBF = √6 * tan(30°) = √6 * (1/√3) = √2　　　　　④

①～④が求める答です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/18 20:07

＞直線BCと外接円の交点をDとする

あり得ない設定です。「△ABCの外心」の話をしているなら、「直線BCと外接円の交点」は「ＢとＣ」でしょう。