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ベクトルOP,OA,OBを三角形OABに対して考える。
OP=xOA+yOBを満たし
係数x,yは連立不等式
2x+y≧1
x+y≦1
y≧0
を満たす。

OA,OB,の長さを5,2としベクトルOAとOBの内積を6としたとき点Pの存在する範囲の面積Sを求めよ。


斜交座標は用いないで欲しいです。



よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

こんにちは。


質問者は高校2年生ですか?「数学C」をもし習っていて、「行列」「一次変換」などの
知識を使えばできます。ただ最近「指導要領」が変わって「一次変換」などが無くなっていたらお許しを。
さて、ベクトルOAを(→OA)などで表し、その大きさを|(→OA)|で表すことにします。今ベクトルOPは
(→OP)=x(→OA)+y(→OB)・・・(*)という式で決まっている。
2x+y≧1,x+y≦1,y≧0 ・・・(1)を満たす図形をDとし、その面積をSとすれば、こういう問題は、
次の式で一発で答えがでます。最初に答えを書きます。つまり、
「事実1」
点Pの表す図形をD’,その面積をS'とし、(→OA)と(→OB)のなす角をθ(0゜≦θ≦180゜)とすると、
S'={|(→OA)|×|(→OB)|×sinθ}×S ・・・(#) で与えられる。

図形Dについては、S=(1/2)×(1/2)×1=1/4 なので(図参照)|(→OA)|=5,|(→OB)|=2 
及びcosθ=3/5・・・(2)からのsinθ=4/5を代入して、
S'={5×2×sinθ}×(1/4)={10×(4/5)}×(1/4)=2.よって   (答え) 2.
では何故(#)の式が出てくるか説明します。

◎まず、座標平面を2つ用意する。一つ目の座標平面を単に「平面1」、2つ目の座標平面を単に
「平面2」と呼ぶことにする。「平面1」「平面2」での原点をOとする。「基本ベクトル」
 (→e_1)=(1,0),(→e_2)=(0,1)(ベクトルの成分表示)を考え「平面1」上での動点Q を
(→OQ)=x(→e_1)+y(→e_2) ・・・(2) で決める。成分表示で(→OQ)=(x,y)なので動点Qの
座標も(x,y)となる。この場合上の条件(1)を満たす図形Dは、「数II」の範囲で分かるように
「平面1」上の3点E(1/2,0),F(1,0),G(0,1)からできる△EFG(図参照)である。
その底辺=EF=1/2,高さ=OG=1なのでS=1/4 
さて、「平面2」上で動点Pを質問のように、(→OP)=x(→OA)+y(→OB)・・・(*)とするとき、
(→OA)と(→OB)のなす角θ(0゜≦θ≦180゜)を求める。(→OA)と(→OB)の内積を
(→OA)・(→OB)で表すと、(→OA)・(→OB)=|(→OA)||(→OB)|cosθ から6=5×2cosθ
よってcosθ=3/5 ゆえにθは鋭角で、sinθ=4/5。次に(*)を満たす「平面2」上の点O,A,Bは、
質問者の条件を満たす限りどこにとっても良いから、Oを原点にとり、x軸上に点Aを(5,0)ととり、
点Bはx軸の正の向きに鋭角θだけ回転してOB=2となるようにとる。
Bの座標は(2cosθ,2sinθ)。
これより(→OA)=5(→e_1),(→OB)=2cosθ(→e_1)+2sinθ(→e_2) ・・・(3) となる。これを
(*)に代入して、(→OP)=(5x+2cosθy)(→e_1)+(2sinθy)(→e_2) ・・・(4) となる。
Oは原点にとったから、「平面2」上の動点Pの座標は(5x+2cosθy,2sinθy)


これで「平面1」上の点Q(x,y)が上で述べた△EFGを動き回るとき、「平面2」上の動点
P(5x+2cosθy,2sinθy)はどんな図形D'を動き回るか、そしてその面積S'はいくつになるかと
いう問題になった。ここで点Pの座標にはx,yが含まれているので
5x+2cosθy,2sinθyはx,yの関数である。つまり「対応Q ⇒P」が考えられ関数の一般化で
難しい言葉で
『「平面1」から「平面2]への「写像」(x,y) ⇒(5x+2cosθy,2sinθy) ・・・(5)』 が
定義されたときの面積の変化を調べる問題になった。
この写像をHとすると、5x+2cosθy,2sinθyはx,yの定数項のない一次式なので「一次変換H」という。
「一次変換」は普通縦に書いて表す。

ここで一般論の説明をする。


「定理2」

一般に定数a,b,c,d:が与えられているとする。
『「平面1」から「平面2]への「一次変換」(x,y) ⇒(ax+by,cx+dy) ・・・(6)』 
に対し、次の性質がある。
(ア)「平面1」の直線は「平面2]の直線に移り、「平面1」の線分は「平面2]の線分に移る。
  よって「平面1」の三角形は、一般には「平面2]の三角形に移る。(潰れるときもある)
(イ)「平面1」の領域Dが「平面2」の図形D'に移るとき、その面積は|ad-bc|倍になる。ここに
  |・|は絶対値記号である。

この
「定理2」を仮定して質問の問題に戻ると
 (x,y) ⇒(5x+2cosθy,2sinθy) ・・・(5)は「定理2」において
a=5,b=2cosθ,c=0,d=2sinθである。(ア)より、図形D=△EFG なので図形D'も一般に三角形D'となる。
(イ)より、その面積S'はSの|ad-bc|=|5×2sinθ-2cosθ×0|=|5×2sinθ|=5×2sinθ倍になる。
よって「事実1」が成り立つ。(説明終わり)
◎或いは次のようにしても良い。
実際に一次変換で点E(1/2,0),F(1,0),G(0,1)に対応する点をE',F',G'とすると、(5x+2cosθy,2sinθy)
のx,yに点E,F,Gのx座標、y座標を代入してE'(5/2,0),F'(5,0)=A,G'(2cosθ,2sinθ)=Bとなる。(図参照)
ゆえに△EFGは△E'F'G'=△E'ABに移り、その底辺=E'F'=5-5/2=5/2,高さ=2sinθ よって
S'=1/2×5/2×2sinθ=5/2×4/5=2 と求まる。

【補足】「定理2」の証明には次のことを使う。
「事実2」
座標平面でI(p,q),J(r,s)としたとき、原点をOとすれば、△OIJの面積=1/2|ps-qr|と求まる。   
「数学のベクトルの存在範囲の問題です、」の回答画像3
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この回答へのお礼

行列を履修していたので大変わかりやすかったです。

お礼日時:2013/12/26 00:08

#1です。


少し補足します。

最初のところ
x≧0
を出すだけであれば図を描かなくてもわかります。
1≦2x+y=x+x+y≦x+1
∴x≧0

でも図を描くとx、yが限られた領域内の値しか取れないことがわかりますので点Pも限られた領域にしか存在できないだろうということが予想されます。

x≧0、y≧0 は内分点であるというところに使います。

点PがABに平行な線分A’B’の上にあるというのは割合とすぐに出てくると思いますが、MBに平行な線分A”B”の上にあるというのがちょっと見つけにくいかもしれません。
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x+y≦1


2x+y≧1
y≧0
x、y平面で図を描くとx≧0であることがわかります。

OP=xOA+yOB   (式1)

q、rを次のように定義します。
q=x+y  (q≦1)
r=2x+y (r≧1)

(1)(式1)をqを使って変形します。
三角形OABのOA上に点A’を、OB上に点B’を
 OA’=qOA、OB’=qOB 
となるようにとります。
A’B’//AB です。
また、x’=x/q、y’=y/qとします。

このような変形で (式1) は次のように変わります。
OP=x’OA’+y’OB’
x’+y’=1

点Pは三角形OA’B’の辺A’B’上にあります(y’:x’に内分する点)。
q≦1ですから点Pは三角形OABの内部にあります。

(2)(式2)をrを使って変形します。
OAの中点をMとします。OM=OA/2です。
三角形OABのOA上に点A”を、OB上に点B”を
 OA”=rOM、OB”=rOB 
となるようにとります。A”B”//MB です。
また、x”=2x/r、y”=y/rとします。

このような変形で (式1) は次のように変わります。
OP=x”OA”+y”OB”
x”+y”=1

点Pは三角形OA”B”の辺A”B”上にあります(y”:x”に内分する点)。
r≧1ですから点Pは線分三角形OMBの外部(線分OA,OBに挟まれていてOから遠い方)にあります。

(1)(2)を合わせると点Pは三角形MABの内部にあることがわかります。

面積はBからOAに下した垂線の長さがわかればわかります。
これはOA,OBの内積がわかっているので出てきます。

ちょっとごてごてした書きかたをしています。
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この回答へのお礼

x≧0をつくれば典型問題に帰着?できるのですね!

大変わかりやすいです
ありがとうございました

お礼日時:2013/12/21 11:37

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Qベクトル方程式(点の存在範囲)

(1)(2)に関して、質問があります。
(1)三角形OABがある。
実数s,tがs≧0,t≧0,s+2t≦2を満たすとき、
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)で表される点Pが動く範囲を図示せよ。
(2)三角形OABがある。
実数S,Tが s-t≧0 , s+t≦2 , t≧0 を満たして変化するとき、
(→OP)=(s+2t)(→OA)+(t-s)(→OB)で定まる点Pの全体(存在範囲)を求めよ。

まず、(1)は大数の問題で、解答もあるのですが、
"s+2t=k(kは正の定数)とおき、
(→OP)=s/k(k→OA)+2t/k(k/2→OB),
s/k+2t/k=1,s/k≧0,2t/k≧0,により、
(→OA')=k(→OA),(→OB')=k/2(→OB)
とおくと、Pは線分A'B'上を動く。(以下略)"とあるのですが、
点Pが直線A'B'上を動くと決まるのは,
"s/k+2t/k=1"という式で、点Pが直線A'B'上にあるよ!ということを示しているのですよね?
それを"s/k≧0 , 2t/k≧0"という条件が直線A'B'上の動く範囲を指定していて、この場合は線分A'B'上を動くということを示しているのですよね?
ちなみにもしこのとき0≦s≦1の条件がついたとしたら、どう考えるのでしょう?

また(2)については、(1)のように定数kで固定しようと考えてみてみても、うまくつながりません。最初の不等式をいじって条件を導くべきなのでしょうか?

ベクトル方程式については、高校時代からあやふやで、(2)のようになると手も動きません;;
浪人ということもあり、ここはしっかり理解したいと思っているので、みなさん是非教えてください!

(1)(2)に関して、質問があります。
(1)三角形OABがある。
実数s,tがs≧0,t≧0,s+2t≦2を満たすとき、
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)で表される点Pが動く範囲を図示せよ。
(2)三角形OABがある。
実数S,Tが s-t≧0 , s+t≦2 , t≧0 を満たして変化するとき、
(→OP)=(s+2t)(→OA)+(t-s)(→OB)で定まる点Pの全体(存在範囲)を求めよ。

まず、(1)は大数の問題で、解答もあるのですが、
"s+2t=k(kは正の定数)とおき、
(→OP)=s/k(k→OA)+2t/k(k/2→OB),
s/k+2t/k=1,s/k≧0,2t/k≧0,により、
(→OA')=k(→OA),(→OB')=k/2(→OB)
とおく...続きを読む

Aベストアンサー

「高校の」ベクトル(いわゆる矢印ベクトル)ってのは
「斜めの座標」にしかすぎません.

三角形OABとかいわれてるなら,まずは
Oを原点,Aを(1,0),Bを(0,1)として
やってみましょう.
このとき

実数s,tがs≧0,t≧0,s+2t≦2を満たすとき、
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)で表される点Pが動く範囲を図示せよ。

ってのは,単に普通の座標で
x,y>=0,x+2y<=2
っていわれてるのと同じだって理解できますか?
単にPの座標が(s,t)になってるので文字を変えるだけ.
つまり「三角形の内側」.
これが「0≦s≦1」だったら
y>=0,x+2y<=2,0<=x<=1
となるわけです.

じゃあ,
「Oを原点,Aを(1,0),Bを(0,1)」
じゃなかったらどうなるか?
座標軸が斜めになるだけです.
#理論的な正当化には一次変換が必要だけども
#直感的には明らかでしょう?

(2)に関しても同様.
同じように普通の座標系で考えれば
Pは(s+2t,t-s)で s-t>=0 , s+t<=2 , t>=0
これを図に描けばいいのです.
X=s+2t
Y=t-s
とおけば,
t=(X+Y)/3
s=(X-Y)/3
だから,X,Yの条件に直せるでしょう.
これを普通の座標で描いてから
斜めの座標に移せば終わりです.

この考え方は結構本質です.

大数の解は,こういうことを理解して振り返れば
何をやってるのかは自明でしょう.
直線を考えるときには「x+y=1」だけしか考えなくてよい.
ただし座標の方が斜めになるなるんだということなんです.

そして,複数の条件があるときは
一番都合のよい条件だけを考えて「大きな解」を出しておいて,
さらに他の条件を考えて解を絞り込みます.

受験らしい解法をしてみると

実数S,Tが s-t≧0 , s+t≦2 , t≧0 を満たして変化するとき、
(→OP)=(s+2t)(→OA)+(t-s)(→OB)で定まる点Pの全体(存在範囲)を求めよ。

(→OP)=(s+2t)(→OA)+(t-s)(→OB)
=s((→OA)-(→OB)) + t( 2(→OA) + (→OB))
=(s/2) 2((→OA)-(→OB)) + (t/2) 2( 2(→OA) + (→OB))
s/2 + t/2 ≦2 , t/2 ≧0

だから,
2((→OA)-(→OB)) の終点と2( 2(→OA) + (→OB))の終点と結ぶ
直線を考えて
その直線のO側全体と
2((→OA)-(→OB)) 以上の部分がでてきます.
さらに
s-t≧0 つまり,t/2 =< s/2 という条件が加わるので
2((→OA)-(→OB)) の終点と2( 2(→OA) + (→OB))の終点と結ぶ線分の
中点と原点を結んだ直線以下となります.

結局「斜めの座標」というのが本質なので
それを念頭におけばいいのです.

「高校の」ベクトル(いわゆる矢印ベクトル)ってのは
「斜めの座標」にしかすぎません.

三角形OABとかいわれてるなら,まずは
Oを原点,Aを(1,0),Bを(0,1)として
やってみましょう.
このとき

実数s,tがs≧0,t≧0,s+2t≦2を満たすとき、
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)で表される点Pが動く範囲を図示せよ。

ってのは,単に普通の座標で
x,y>=0,x+2y<=2
っていわれてるのと同じだって理解できますか?
単にPの座標が(s,t)になってるので文字を変えるだけ.
つまり「三角形の内側」.
これが「0≦s≦1」だっ...続きを読む

Q原核生物と真核生物の違い

原核生物と、真核生物の違いについて教えてください(><)
また、ウイルスはどちらかも教えていただけると嬉しいです!

Aベストアンサー

【原核生物】
核膜が無い(構造的に区別出来る核を持たない)細胞(これを原核細胞という)から成る生物で、細菌類や藍藻類がこれに属する。

【真核生物】
核膜で囲まれた明確な核を持つ細胞(これを真核細胞という)から成り、細胞分裂の時に染色体構造を生じる生物。細菌類・藍藻類以外の全ての生物。

【ウイルス】
濾過性病原体の総称。独自のDNA又はRNAを持っているが、普通ウイルスは細胞内だけで増殖可能であり、ウイルス単独では増殖出来ない。



要は、核膜が有れば真核生物、無ければ原核生物という事になります。

ウイルスはそもそも細胞でなく、従って生物でもありませんので、原核生物・真核生物の何れにも属しません(一部の学者は生物だと主張しているそうですが、細胞説の定義に反する存在なので、まだまだ議論の余地は有る様です)。



こんなんで良かったでしょうか?

Qベクトルの終点の存在範囲の基本的な問題

お世話になっております。
次の問題の正誤の判定をしていただきたく思います。

問「△OABに対して、OP↑=sOA↑+tOB↑とする。実数s、tが条件s+t≦2、s≧0、t≧0を満たしながら動く時、点Pの存在範囲を求めよ」という問題です。s+t=k(実数)の場合は何となく理解出来たので、一応やってみました。

s+t≦2より、(s/2)+(t/2)≦1。(s/2)=s'、(t/2)=t'とおくと、
OP↑=sOA↑+tOB↑=s'(2OA↑)+t'(2OB↑)…(1)

ここで、2OA↑=OA'↑、2OB↑=OB'↑となる点A'をB'とると、
OP↑=s'OA'↑+t'OB'↑。s'+t'≦1、s'≧0、t'≧0より、点Pは
△OAB∽△OA'B'であり相似比が1:2となる△OA'B'の周と内部に存在する。 終

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

問題ありません.文句なしでマルをつけます.


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