ベクトルの空間図形の質問です。

平行六面体OABC－DEFGにおいて、平面ACDと直線OFの交点をHとする。OA↑＝a↑、OC↑＝ｃ↑、OD↑＝ｄ↑とするとき、OH↑を、a↑、ｃ↑、ｄ↑であらわせ。

OH↑＝（１－ｓ－ｔ）a↑＋ｓｃ↑＋ｔｄ↑・・・・(1)

また、OF↑＝a↑＋ｃ↑＋ｄ↑によって、
HはOF上にあることがわかる。
OH↑＝ｋOF↑＝ｋ（a↑＋ｃ↑＋ｄ↑）＝ka↑＋ｋｃ↑＋ｋｄ↑・・・(2)

四点O,A,C,Dは同一平面上にないから、(1)、(2)より・・・・

となっているのですが、なぜ同一平面上にないと、(1)、(2)をつかってとけるのでしょうか。
もし同一平面上にあった場合は使えないということですか。

解答お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： tekcycle 回答日時： 2014/01/02 21:40

> また、OF↑＝a↑＋ｃ↑＋ｄ↑によって、

> HはOF上にあることがわかる。

上記の文章に間違い、タイプミスは無いでしょうか？
上記の文章に間違いが無いなら、これもメチャクチャです。
～～によらずとも、ＨがＯＦ上にあることは、題意から判っていることです。
日本語(母国語)からして不自由な脳味噌の人が解答を書いているとしか思えません。
大学入試で、何点以上の人を何人か採らなければならないなら、点数さえ超えていればこんな人でも合格してしまうのかもしれません。
しかし、入社試験で、変な奴なら入社させなくて良いのであれば、私だったらこんな解答を書く人は採用しません。
採用するとすれば、クルクルパーだけど何かの天才で、か、何とかさんのコネで、という場合です。

> 四点O,A,C,Dは同一平面上にないから、

～ないから、～～である。若しくは、～ないから、～～ではない。
従って、(1)(2)を比較検討すれば良く、(1)(2)から、
が正しい文章でしょう。
仰るとおり、その文章では、(1)(2)を使う理由が「～ないから」であると受け取られかねません。
可哀想な解答者。哀れ。どこかの数学の解答に使われている言葉を、意味も解らず適当に並べているだけ。
あなたが解らないのは当然。解答が間違ってるから。

ＯＡＣは勿論同一平面上ですよね。
平行六面体でＤがＯＡＣ平面上にあるなら、ＯＡＢＣとＤＥＦＧ間の厚みが０の平行六面体になるのでしょう。
ただし、たぶんそれを平行六面体とは言わないでしょうね。
平行六面体の正確な定義を知らずに言ってますが。
じゃぁ直線は平行四辺形か、平行六面体か、ということにもなるでしょうから。
仮に厚み０の平行六面体を認めることにすると、
ＡＣＤ平面もＯＡＢＣ平面も同一平面上の物となり、ＯＦもその平面上の直線となります。
すると、Ｈなど定まりようがありません。ＯＦ上の全点がＨとなります。
しかし、厚み０では平行六面体とは言わないだろうから、すると、ＨはＯＦ上の全点、ということは無さそうだ、って事です。

従って、平行六面体であるなら、ＤはＯＡＣ平面上には無いので、
ＤがＯＡＣ平面上に無い場合は、(1)と(2)を比較し、特に各々のパラメーターをそれぞれ比較すると、
ａ↑について、（１－ｓ－ｔ）＝ｋ
ｃ↑について、ｓ＝ｋ
ｄ↑について、ｔ＝ｋ
という３式が得られるということでしょう。
これを解けば良いと。
すると、
ＯＨ↑＝(１／３)ａ↑＋(１／３)ｃ↑＋(１／３)ｄ↑
となるでしょう。

仮にＤがＯＡＣ平面上にあるとしましょう。
すると、ｄ↑は、パラメーターｐ,ｑをつかって、
ｄ↑＝ｐａ↑＋ｑｃ↑
と書けるはずです。
(1)は、まずＯＡ↑でＡ点に飛んで、そこからＡＣ↑とＡＤ↑で作る平面のどこかの点だ、という意味ですが、ちょっと変えて、まずＤ点に飛んでそこからＤＡ↑とＤＣ↑とで作る平面のどこかの点だ、という式を立てます。
ＯＨ↑＝ＯＤ↑＋ｓＤＡ↑＋ｔＤＣ↑
　　　＝ＯＤ↑＋ｓ(ＯＡ↑－ＯＤ↑)＋ｔ(ＯＣ↑－ＯＤ↑)
　　　＝ｄ↑＋ｓ(ａ↑－ｄ↑)＋ｔ(ｃ↑－ｄ↑)
　　　＝(１－ｓ－ｔ)ｄ↑＋ｓａ↑＋ｔｃ↑
ｄ↑＝ｐａ↑＋ｑｃ↑より
　　　＝(１－ｓ－ｔ)(ｐａ↑＋ｑｃ↑)＋ｓａ↑＋ｔｃ↑
　　　＝{(１－ｓ－ｔ)ｐ＋ｓ}ａ↑＋{(１－ｓ－ｔ)ｑ＋ｔ}ｃ↑
　　　＝{(１－ｔ)ｐ＋(１－ｐ)ｓ}ａ↑＋{(１－ｓ)ｑ＋(１－ｑ)ｔ}ｃ↑・・・・(1')
(2)は、
　＝ｋａ↑＋ｋｃ↑＋ｋ(ｐａ↑＋ｑｃ↑)
　＝ｋ(１＋ｐ)ａ↑＋ｋ(１＋ｑ)ｃ↑・・・・(2')
となるでしょう。
ａ↑とｃ↑の係数を(1')と(2')で比較すると、
(１－ｔ)ｐ＋(１－ｐ)ｓ＝ｋ(１＋ｐ)
(１－ｓ)ｑ＋(１－ｑ)ｔ＝ｋ(１＋ｑ)
という２式が得られます。
求めたい値、ｓ,ｔ,ｋ３つに対して、式が２つですので、解は一つに定まりません。
で、この式の扱いをどうするんだったかは忘れました。

ところで、(1)式の意味は解ってる？

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/01/02 12:25

>四点O,A,C,Dは同一平面上にないから、(1)、(2)より・・・・

>となっているのですが、なぜ同一平面上にないと、(1)、(2)をつかってとけるのでしょうか。

「四点O,A,C,Dは同一平面上にない」場合、平面 ACD と直線 OF がワンポイントて交わる…からです。
つまり、解の一意性が保証される。

>もし同一平面上にあった場合は使えないということですか。

平行六面体がペッタンコ (一平面上) になりますヨね。

(いま試す元気はありませんけど…)

たとえば辺 OA, OC ベクトルの「アフイン結合」を作り、三角形 ACD 内の直線 OF の範囲 (大部分は直線分になりそう) を指示できるはず。

　　

No.1 回答者： bon_be 回答日時： 2014/01/02 09:49

「線形独立」っていう言葉を知っていますか？

教科書にも書かれていると思いますよ。基本的事項です。
平面ベクトルの時にも使っていたはずです。


線形独立とは
OA↑＝a↑、OC↑＝ｃ↑、OD↑＝ｄ↑とするとき
a↑≠0↑かつb↑≠0↑かつc↑≠0↑　かつ　a↑とb↑とc↑が互いに平行でない
と言うことです。


でなければ、そのあと

１－ｓ－ｔ＝ｋ
ｓ＝ｋ
ｔ＝ｋ

って、進んでいけなくなりますよ