この算数の問題の解説を解説して下さい。

２３歳、フリーターです。

ここ２年位ずっと単純作業系のアルバイトをしていて頭を使っていないので、
頭がかなり悪くなってきています。


こんな状況を打破すべく、少しでも馬鹿になった頭を良くしようと、現在

解けますか？小学校で習った算数
http://books.rakuten.co.jp/rb/12378642/

という本を用いて今勉強しています。


お恥ずかしながら、この本の中でどうしても答えの解説が理解出来ない問題がありましたので、
数学力や読解力をお持ちの方がおられましたら、その解説の解説をして頂きたいなと思います。


初めに問題、次に僕が答えを出したプロセス、次に本に載っていた解説、そして最後にその解説で理解出来ないところを紹介する、という流れで進めます。



【問題】

サッカーゲームをしました。
ゴールに向かってシュートして、入れれば特別ルールで４点もらえます。
外れると１点引かれます。
まさとさんは１０回シュートして、結果が５点でした。
シュートは何本入ったのですか？


【僕がこの問題を解いたプロセス】

３回シュートを決めたら、４点×３回で１２点獲得。
そして７回外れたら、１点×７回で７点の失点。

１２点から７点引くと５点となり、問題文に提示されている点数と同じになる。

よって、シュートは３本入った。

という流れで答えを導き出しました。

【本に書いてある解説】

１０本全部入ったとすると、４×１０＝４０（点）となります。
けれど、実際には５点でしたので、
４０－５＝３５　３５点は、外した点数です。

入った時と外れた時は、
４ー（ー１）＝５
５点の差がありますから
３５÷５＝７
７本が外れたことになります。
従って、入ったのは
１０ー７＝３（本）



【解説において理解出来ない点】


全部です。


なぜ最初、「１０本全部入ったとすると」という仮定から解説が始まるのか、
全く理解できません。


１０本入ったとすると、確かに４×１０＝４０で４０点になります。

そして実際に獲得したのは５点だったので、３５点が外した点数です。

なら、３５回外さないといけないんじゃないでしょうか？

なんで入った時と外れた時の差である５点で３５を割るんでしょうか？



質問しておいてこの様な条件を提示するのはおこがましいですが、
僕はこのレベルの問題すら理解できないので、
もの凄く丁寧に回答して頂いてもよろしいいでしょうか？


小学生の３・４年生ぐらいにも分かる様に、
かなり事細かに噛み砕いて、プロセスを踏んで解説して頂けると、本当に助かります。


では、回答お待ちしております。

No.13 ベストアンサー 回答者： kandumetomato 回答日時： 2014/01/05 04:55

(1)なぜ最初、「１０本全部入ったとすると」という仮定から解説が始まるのか

ダイヤルロックってありますよね。000～999とかの。
番号が全く分からない状態で開けようと思ったら、000から1ずつ増やしていくか、999から１ずつ減らしていくかしますよね。
適当に375とか448とか合わせていってもいいですが、それだと途中で「あれ？　297ってやったっけ？」なんてことになりそうです。
それと同じです。
まず、10本全部入ったと考える。

まあ10本くらいなら、適当に3本くらいかなって見当をつけて実際に計算した方が早いですけど。
でも「10本全部入った」とか「10本全部外した」とか、端っこから考えていくのも地道なやり方としてアリです。

というか、算数はこういう地道だけど確実なやり方を考える科目なんだと思います。
やり方さえ見付けてしまえば、1万本だろうが10万本だろうが計算で出せるので。
例えば、
　1万本シュートして、結果は9455点でした。
って言われても見当は付かないですよね。(^^;)
そういうことなんだと思います。


(2)３５回外さないといけないんじゃないでしょうか？

これは10回全部「入った」と仮定したからです。
「入った」と仮定して先に40点もらってるんだから、1回外しちゃったら4点返さなくてはいけません。さらに1点引かれる。
合わせて5点です。1回外すごとに、先にもらっていた点数から5点引かれます。
したがって、
　３５÷５＝７
で、7回外したことが分かります。

さっきの問題だと、
　４００００－９４５５＝３０５４５
　３０５４５÷５＝６１０９
で６１０９回外したことが分かります。

No.12 回答者： nox5lg27taze 回答日時： 2014/01/04 16:25

もし10回全てゴールした場合もちろん点数は40点になります。

ではもし10回のゴールのうち1回だけミスしたと考えたらどうなるでしょうか（つまりゴール9回ミス1回）

この時の点数は9×4∔1×(-1)＝3点になります。

同じようにゴールの数を減らしていったときの得点を計算するとある規則性に気が付くことが出来ます。

ゴールの数：　10回　　　9回　　　　8回　　　7回
点数：　　　　40点　　　35点　　　30点　　　25点

ゴールの回数が１回減るごとに得点は5点ずつ下がっていくのです。

これを地道に繰り返せば5点になるときゴールの数は3回と分かります。


参考書の解説のプロセスを噛み砕くと上のことを言っているのだと思います。

参考書の解説は数学チックに問題を解こうとしているので少々わかりづらいですね(;´Д｀)

僕個人の意見ですと、回答者さんの考え方で全然構わないと思います。答えあったっているんですし。

テストにその答えを書くと論理性に欠けるので原点を食らうと思いますが、受験を目的としないのならOKかと

No.11 回答者： redgarbera 回答日時： 2014/01/04 11:00

これは「つるかめ算」というやつですね。

それの応用問題です。
まず、なぜ10本入ったと仮定するのか、という質問ですが、これは単にそうすると解きやすいから、というだけのことです。あなたは３本入ったらと仮定しましたが、それとたいして変わりません。3回でも4回でも5回でも、どの回数に仮定しても解けます。算数の問題では（算数に限らずものごとを論理的に考える際には）「もしこうだったら」と仮定することはよくあるのです。
ただ、あなたは3本入ったらと仮定してそれがたまたま正解だったわけですよね。これは「問題」を解いたとは言いません。「当たった」です。10回なら何回かやっているうちに「当たる」でしょうが、これが100回だったらそうはいかないし、何よりも算数は理屈で解いていくことが大切です。

さて、10回全部入ったと仮定すると40点もらえますね。
では、９回入って1回外したらどうでしょう。４×９で36点もらえて１点引かれるのですから、得点は35点ですね。
同様に８回入って2回外したら、４×８で32点もらえて２点引かれるのですから、得点は30点です。
これを見るとわかるように、外す回数が1回増えるごとに５点ずつ少なくなっています。
どうしてこうなるか。それは、外す回数が１回増えると当たる回数が１回減るからです。「当たり前じゃないか」と思われるかもしれませんが、ここが大切なところなのです。外す回数が１回増えると「－１」が１つ増えますね。そして同時に当たる回数が１回減るので、「＋４」が1回減ります。だから5点差がつくのです。
言い換えると、これまでに９回シュートしてすべて入れている人はすでに36点獲得していますが、次のシュートを入れると＋４で40点になります。でも失敗するとその＋４がもらえない上に－１されてしまうので、１回入れるか外すかで５点差がつくのです。
これがわかればあとは簡単です。10回全部入れば40点。１回外すと－5点。実際には５点だから40点に比べて－35点。ということは－５を7回やったことになるのだから、この人は７回外したわけです。

いかがでしょうか。わかりにくいところがあったら補足をつけて下さい。

No.10 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/01/04 09:48

しごく単純な鶴亀算です。

鶴と亀が10匹います。足の数は30本でした。それぞれ何匹？？
　全部が亀だと40本、一匹が鶴に変わると36本、一匹変わるごとに2本減るので「10本すくない」と言う事は鶴は5匹・・

　10回入れば40点、
１本外すと、9×4 + (-1)×1 = 35
２本外すと、8×4 + (-1)×2 = 30
・・一本外すごとに、-4 + (-1) = -5ずつ減っていく事になるので、40点との差を、「ゴールしたときの点数と外したときの点数差」で割れば、外した回数はすぐ出てくる。

40-5 = 35　が全部ゴールした得点との差
35/5 = 7　が外した数
10-7 = 3　がゴールした数

★逆でも良いです。全部外したら-10点、一つ入ると-5点、ゴール回数が増えるごとに5点加算されるので、-10-5 = -15 ・・15/5 = 3 ゴールは三回　

　算数の最も良く使われる、基本的で簡単な算術ですよ。
　　旅人算(出会い算や追いつき算)、流水算、並木算・・

　実社会では、方程式を作るより簡単に解ける事が多いです。1000円の予算で6人分お酒を買いたいが、300円のものと140円の物があるとか・・・
　以下の一見すると難題も鶴亀算なら簡単に解ける。
【引用】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ここから
A組とＢ組合わせて63人の子供に色紙を配りました。男子には青い色紙を7枚ずつ、女子には赤い色紙を5枚ずつ配ったところ、A組では青い色紙の方が赤い色紙より15枚多く、Ｂ組では赤い色紙の方が青い色紙より6枚多くなりました。A組、Ｂ組合わせて、色紙は青、赤それぞれ何枚でしょう。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ここまで［小学校６年生算数　 - 数学 - 教えて！goo( http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8395237.html )］より

No.9 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/01/04 05:20

　算数でも「難算」などと呼ばれるタイプの問題ですね。

勘で「ここら辺り」としてみて、計算してちょっと違うなら1ずつ増減させたりするのは、結構実用的で良い溶き方です。PCでは大量に計算できるので、エクセル使ったり、簡単なプログラム組んだりするときによく使うやり方です。

　それで、あくまでも紙と鉛筆で解くときですが、こういう簡単には行かない問題は、算数のやり方は捨ててしまうのが良いです。中学数学では定石ともいえる、変数を使って解いてしまうのが良いです。変数を使わずに算数的に解こうとすると、この問題以外につるかめ算だのニュートン算だの、解き方を大量に覚えないといけませんが、変数を使うならやり方は一つだけです。

　実は、私は難算を算数で解くやり方を全て、すっかり忘れてしまいました。

　前置はこれくらいで。問題を見ると、

>シュートは何本入ったのですか？

と、分からないのは入ったシュートの数だけですね。そこで、x本のシュートが入ったとします（どのアルファベットを使うかは、どうでもよくてyやzでもOKです）。

　入ったら4点ですから、x本入った点数は「4x」です（4×xですが、こういう省略した書き方をよく使います）。

　外れた本数は10-xで、点数は1本あたり-1なので、引かれた点数は、-(10-x)です（1は普通は省略して書いてしまいます）。

　すると合計得点は、4x-(10-x)で、それが5点ですから、

　4x-(10-x)=5

と書けます。これで問題文の条件は全て式に書けてしまいました。もう問題文は忘れて、この式を解いてしまえばいいのです。

　4x-(10-x)=5　←再掲

　4x-10+x=5　←マイナスに注意してカッコを外した

　5x-10=5　←xを一つにまとめた（4x+x=5x）

　5x=15　←両辺に10を足した（10を右辺に移項した、と言ったりもする）

　x=3　←両辺を5で割った

　ここで、シュートがx本入ったとしたことを思い出せば、シュートが3本入ったと分かります（外れた本数は、10-3=7本ですね）。

No.8 回答者： asuncion 回答日時： 2014/01/04 04:27

別解

1回シュートして、
成功したら+5点
失敗したら0点
と考えても、本質は同じ。

もともとの問題と比べると
1回シュートした際の点数が
1点ずつ増えることになるので、
10シュートして15点獲得しました。
何回成功しましたか？
という問題と同じ。

15 ÷ 5 = 3回

No.7 回答者： asuncion 回答日時： 2014/01/04 04:02

1回シュートした際、

成功したか失敗したかによって
5点の差が付きます。

仮に10本すべて失敗だったら、
得点は-10点です。
実際は+5点でしたので、
10本すべて失敗のときよりも
15点多いです 。

この15点の差は、失敗を成功に何回
置き換えるか、に相当します。
1回置き換えるたびに5点増えますから、
置き換える回数、すなわち
シュートが成功した回数は
15 ÷ 5 = 3回
です。

No.6 回答者： wotya21 回答日時： 2014/01/04 03:01

＞なぜ最初、「１０本全部入ったとすると」という仮定から解説が始まるのか

何本入ったのかを調べるためには、全部入った時の得点（4×10＝40点）と
実際の得点（5点）を比較して、シュート何本分をミスしたのか求めればいいわけです。

そして1回ミスするごとに、10本入ったときより得点は5点分少なくなりますよね。

ということは、外した点数（35点）を5点で割れば、
シュート何本分外したのかが求められますよね。

＞なんで入った時と外れた時の差である５点で３５を割るんでしょうか？

上記の通り、何本外したのかを求めるためです。

そしてシュート10本から外した本数（7本）を引けば、入った本数が求められます。

No.5 回答者： siki0275 回答日時： 2014/01/04 02:53

はじめに、あなたの問題の解き方は間違えではありません。

しかし、なぜ三回のシュートが入ったと仮定して計算を始めたのですか？
経験則や勘など、計算に慣れていればなれているほど陥りやすい所でありますが、論理的ではありません。

そこで、論理的に答えを説明した方法がこの問題の回答です。
シュートを打つ回数は10回と決まっています。（重要）
もし10回とも入ったのであれば40点です。
ここまではいいですよね？
もし9回しか入らなかったら1回は外したことになります。
計算は4*9-1=35
ここで10回入った場合と比べてみると、-5点の差になります。
この差は一回入れた点数（4点）と一回外した点（-1点）の差になります。
4-(-1)=5点
つまり10回入れた場合（40点）から、一本シュートを外すたびに-5点されていく訳です。
そう考えると、10回入れた場合から何本外したら5点になるかが求められます。
40-5x=5
x=7
最終的に何本ゴールを入れたかを求めないといけないので
10-7=3
よって3本という答えが導けます。

おそらく10本しかシュートを打てないことを忘れていたのでは無いでしょうか？

No.4 回答者： birdman007 回答日時： 2014/01/04 02:49

これはつるかめ算ですね！！かつマイナス要素があるので、難易度は少し上がります。

相談者が答えを導き出した方法で問題ないです！！この方が早く回答が出せるからです！！
厳密に理解しながら解くことも大切ですが、素早く解答を出すことも重要になる場合が多々あります。

正直、参考書に書いている解答方法は余計に混乱させるものが多数見受けられます・・・。
自分も公務員試験を受ける際にこのような勉強をして、結構打ちのめされた経緯があります。
質問したが、理解出来る回答を得られたことは無かったです・・・。残念ながら・・・。

自分としてベストな解答法シュート10回を分離して、組み合わせる方法です。
入ったのが3回の時、4回の時、5回の時という風に分けて考えるやり方です。10回は不変の数字なので、やりやすいです！！

それとこの5という数値はプラス4点とマイナス1点を足すと幅が5点になるということです。マイナスが混乱させる要素になっています。

あえて小学生でも理解できるやり方は、表を作って成功数と失敗数で分けて考えるやり方がよりわかるかと存じます。