円を直線で分割するとします。1本の直線なら円を
2分割できます。2本ならば最大で4分割できます。
では、直線が3本の場合は、最大何分割できますか?
また、直線が6本の場合は、最大何分割できますか?
教えてください。よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

1本の時=2分割


2本の時=4分割
3本の時=7分割
4本の時=11分割
5本の時=16分割
6本の時=22分割
7本の時=29分割
8本の時=37分割
9本の時=46分割

直線の数をNとします
N本の線で分割できる最大の数をF(N)とすると

F(0)=1
F(N)=F(N-1)+N

だと思いますよ
線を追加する際に
他の線と必ず交差して
尚且つ既存の交点を通過しない様にすれば
最大の数になる様な気がします
ですからこの様に線を追加すれば
分割した数は「既存の線の数+1」増える

因みに
100本の時=5051分割
1000本の時=500501分割
10000本の時=50005001分割

----

以上であっていると思いますが
もし間違いがあればご指摘下さい
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漸化式の問題ですね。



まずN本の直線で、円の平面がA(N)個の領域に分けられると考えます。

直線がN本の状態の時、N+1本目の直線を追加すると、この直線は既に存在するN本の直線とN個の点で交わります。よって

A(N+1)=A(N)+N・・・(1)

という式が成り立ちます。またN+1本目の直線は、このN個の頂点でN+1個の部分に分けられて、その各々に対して新しい領域が1つずつできるので、

A(N+1)=A(N)+N+1・・・(2) が成り立ちます。

まずA(N)を求めます。(2)より

A(N+1)-A(N)=N+1 になります。

数列{A(N)}の階差数列の一般項はN+1でありますから、Nが2以上の時、

A(N)=A(1)+1/2N(N-1)+N-1

=1/2(N^2+N+2)

が成り立ちます。これが答えで、Nに任意の直線の数を代入すれば領域の数A(N)が求まります。(Σがうまく表現できなかったので、省略しました。) 

ですから、直線が3本の時は、A(3) = 1/2(3^2+3+2) = 7分割。直線が6本の時は、A(6) = 1/2(6^2+6+2) = 22分割できます。

以上です。
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よって |k-3|/√2 =1

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|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

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|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

これは、《 点と直線の距離の公式 》 を使っています。


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d=│ax₁+by₁+c│/√(a^2+b^2)

です。

x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
(x-2)^2+(y-1)^2=2
より、円Cの中心は、点(2,1) です。
直線l を式変形して、
-x-y+k=0
となり、
これで、点(2,1) と直線 -x-y+k=0 との距離dは、
d=│-2-1+k│/√{(-1)^2+(-1)^2}=│k-3│/√2 ・・・・・①
になります。

また、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。
と、
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CM=√AC∧2-AM∧2=1 ・・・・・②
になります。

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を連立させてxを消去し、yの2次方程式
f(y) = y^2+(-2a+2r+1)y+a^2-2ar = 0 ・・・(*)
を得ます。この方程式において、円が放物線に接する条件は、f(y)=0が変域0≦y<aで実数解を一つだけ持つことです。それが重解である必要はありません。従って、
(1) f(y)=0が0≦y<aの範囲で重解を持つ
(2) f(y)=0 が2つの異なる実数解を持ち、かつ0≦y<aの範囲で一つの解を持つ
の両方を考えます。

(1) f(y)=0が0≦y<aの範囲で重解を持つ場合
(*)式の判別式=0を解いて、r = -1/2±√aを得ます(質問者さんの解は単なる計算ミスですね)。
0<rの条件をつけるとr = -1/2+√aです。ちなみに、r = -1/2-√aは、グラフにおいて円が直線y=aの上でこの直線と放物線に接することを表していますので確認してみてください。
r = -1/2+√aを(*)式に代入すると、
f(y) = y^2 -2(a-√a)y+(a-√a)^2=0
となり、これをyについて解いてy = a-√a。さらにyの変域をチェックして、a>0において0≦ a-√a <aを解くと、1≦aという条件が出てきます。
従って、「 1≦aのときr = -1/2+√a 」が一つの解となります。ちなみに
a>1のときは放物線の頂点以外の2点(x=±√(a-√a))で円が接し、
a=1のときは、f(y)=0が重解y=0を持ち、r=1/2 (=a/2)で放物線の頂点に接します。
a<1ではf(y)=0は0≦y<aの変域で重解を持ちませんが、しかしながら、円は放物線の頂点に接することができそうです。それが後述する(2)のケースになります。

(2) f(y)=0 が2つの異なる実数解を持ち、かつ0≦y<aの範囲で一つの解を持つ場合
f(a)=a>0ですので、「f(0)<0」または「f(0)=0かつ放物線f(y)の軸が負」を解けば良い。
まず、f(0)<0を解いてみると・・・f(0)=a(a-2r)≧0 なので、f(0)<0となる場合はない。
つぎに、f(0)=0かつ放物線f(y)の軸が負を解いてみると・・・ f(0)=a(a-2r) より r = a/2 。
放物線f(y)の軸が負より、(2a-2r-1)/2<0で、r=a/2を代入してこれを解くと、a<1を得る。
故に、a<1のときr=a/2で円は放物線の頂点(y=0)に接する。
ちなみにこのとき、y=x^2より、y=0のときx=0 (放物線の頂点)、f(y)=0のもう一つの解α<0に対してxは実数解を持ちませんから、グラフにおいて円と放物線の交点は放物線の頂点以外にありません。

以上、(1)、(2)をまとめて、
1≦aのときr=-1/2+√a
0<a<1のとき r=a/2
となります。

グラフを書いて、(この際y=aは忘れて)円の位置や半径をいろいろ変えてみて、そのとき円と放物線の交点や接点がどのように変化するか、それが、質問者さんのyの2次方程式の解や、回答くださった皆様のxの4次方程式の解とどう結びつくのか、観察してみると良いでしょう。

質問者さんのyの2次方程式を解く方法にこだわってみます。
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を連立させてxを消去し、yの2次方程式
f(y) = y^2+(-2a+2r+1)y+a^2-2ar = 0 ・・・(*)
を得ます。この方程式において、円が放物線に接する条件は、f(y)=0が変域0≦y<aで実数解を一つだけ持つことです。それが重解である必要はありません。従って、
(1) f(y)=0が0≦y<aの範囲で重解を持つ
(2) f(y)=0 が2つの異なる実数解を持ち、かつ0≦y<aの範囲で一つの解を持つ
の両方を考...続きを読む


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