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円を直線で分割するとします。1本の直線なら円を
2分割できます。2本ならば最大で4分割できます。
では、直線が3本の場合は、最大何分割できますか?
また、直線が6本の場合は、最大何分割できますか?
教えてください。よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

漸化式の問題ですね。



まずN本の直線で、円の平面がA(N)個の領域に分けられると考えます。

直線がN本の状態の時、N+1本目の直線を追加すると、この直線は既に存在するN本の直線とN個の点で交わります。よって

A(N+1)=A(N)+N・・・(1)

という式が成り立ちます。またN+1本目の直線は、このN個の頂点でN+1個の部分に分けられて、その各々に対して新しい領域が1つずつできるので、

A(N+1)=A(N)+N+1・・・(2) が成り立ちます。

まずA(N)を求めます。(2)より

A(N+1)-A(N)=N+1 になります。

数列{A(N)}の階差数列の一般項はN+1でありますから、Nが2以上の時、

A(N)=A(1)+1/2N(N-1)+N-1

=1/2(N^2+N+2)

が成り立ちます。これが答えで、Nに任意の直線の数を代入すれば領域の数A(N)が求まります。(Σがうまく表現できなかったので、省略しました。) 

ですから、直線が3本の時は、A(3) = 1/2(3^2+3+2) = 7分割。直線が6本の時は、A(6) = 1/2(6^2+6+2) = 22分割できます。

以上です。
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1本の時=2分割


2本の時=4分割
3本の時=7分割
4本の時=11分割
5本の時=16分割
6本の時=22分割
7本の時=29分割
8本の時=37分割
9本の時=46分割

直線の数をNとします
N本の線で分割できる最大の数をF(N)とすると

F(0)=1
F(N)=F(N-1)+N

だと思いますよ
線を追加する際に
他の線と必ず交差して
尚且つ既存の交点を通過しない様にすれば
最大の数になる様な気がします
ですからこの様に線を追加すれば
分割した数は「既存の線の数+1」増える

因みに
100本の時=5051分割
1000本の時=500501分割
10000本の時=50005001分割

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以上であっていると思いますが
もし間違いがあればご指摘下さい
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