q=85101で一旦は納得してしまったものの、よく見たらまだ理解できていない部分があることに気付きましたのであらためて質問させていただきます。

lim h/log(1+h)=1
h→0

が成り立つ事を微分を使わずに示してください。

もしくは別の方法で

lim(e^x-1)/x=1
x→0

の証明の仕方を教えてください。

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A 回答 (5件)

出発点は、有名な



(1)  (1+1/n)^n→e (n→∞)

ですが、(1+1/n)^n が収束することはよいでしょうか。
単調増加でかつ上からおさえられることを示せばよいですね。
示し方はいろんな本にのっているので省略します。
(1+1/n)^n は2.718...という値に収束しその値を
eと定義するのでした。

さて今度は(1)を

(2)  (1+1/x)^x→e  (x→∞)

というように自然数から実数に拡張します。
これは次のようにして示します。
n≦x<n+1 (nは自然数) とすれば

(1+1/(n+1))^n < (1+1/x)^x < (1+1/n)^(n+1)

で、これを変形して

(1+1/(n+1))^(n+1)/(1+1/(n+1)) < (1+1/x)^x < ((1+1/n)^n)(1+1/n)

x→∞のときn→∞で(1)より左辺と右辺はともにeに行くので
はさみうちの原理より(2)が得られます。

では、おまちかねの lim(e^x-1)/x を求めましょう。
e^x-1=t とおくとx→0のときt→0で x=log(1+t) ですから

(e^x-1)/x = t/log(1+t) = 1/log((1+t)^(1/t))

→1/log e (t→0) (∵ logは連続関数であることと(2)より)

 =1

となって、めでたく lim(e^x-1)/x=1 がいえました。
読みにくくてごめんなさい。
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この回答へのお礼

良く分かりました。
eの定義は自然数では分かっていましたが、それを実数でも当たり前として使っていたので、
自然数から実数への拡張と言うのは新鮮でした。
考えてみればそうですよね。
log((1+t)^(1/t)) → log e (t→0)
を言うためには実数での定義が必要ですよね。

ありがとうございました。
またよろしくお願いします。

お礼日時:2001/06/05 20:25

すみません。

とんでもない勘違いで間違った計算を書いてしまいました。
下の回答はなかったことにして下さい。
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この回答へのお礼

はい。(・_・)←目が点のつもり。
ちょうどまだ検算してなかったので、お言葉に甘えてなかった事にさせていただきます。(笑)

お礼日時:2001/06/04 23:17

それでは高校で学習したe^xの定義に戻って考えてみましょう。



高校で学習したe^xの定義は
lim{n→∞} ( 1 + (x /n) )^n
でしたね。この定義を利用して計算します。
必要な予備知識は2項展開の公式だけです。
なお Σ_{k=i}^{n} f(k) は数列f(k) のk=iからnまでの総和を表すとします。

lim{x→0} ( e^x - 1 )/ x
= lim{x→0} lim{n→∞} ( ( 1 + (x /n) )^n - 1 ) / x
      (以下 lim{x→0} lim{n→∞} は省略)
= (( Σ_{k=0}^{n} n!/( k!(n-k)! ) (x/n)^k ) - 1 ) / x
= (Σ_{k=1}^{n} n!/( k!(n-k)! ) (x/n)^k )/ x
= Σ_{k=1}^{n} n!/( k!(n-k)! ) x^{k-1}/n^k
= Σ_{k=1}^{n} (n-1)!/( (k-1)!(n-k)! ) (x/n)^{k-1}
      ここでk-1,n-1を改めてk,nと書き直すと
= Σ_{k=0}^{n} n!/( k!(n-k)! ) (x/(n+1))^k
= ( 1 + (x /(n+1)) )^n
= ( 1 + (x /(n+1)) )^{n+1} / ( 1 + (x /(n+1)) )
      ここで再び lim{x→0} lim{n→∞}を考えて
= lim{x→0} lim{n→∞} ( 1 + (x /(n+1)) )^{n+1} / ( 1 + (x /(n+1)) )
= lim{x→0} e^x
=1

以上
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いま風呂上りの一杯中です。


さて、いきましょうか。
eの定義はO.Kでしょうか?
つまり、
lim(1+1/x)^x=e
x→∞      ∞は+・-です。(書き方が分からん)

ということは1/x=hとおくことで
lim(1+h)^(1/h)=e になります。
h→0
これを使います。
いくよ。

limlog(1+h)/h=limlog(1+h)^(1/h)=loge=1

ということは
limh/log(1+h)=1 になるよね。

最初からしめせば良かったですね。ごめんなさい。

それでは、もう一本飲もう。
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この回答へのお礼

> いま風呂上りの一杯中です。
いいっすねー、俺も行こうかな。

さて本題ですが、OKです。
しかしこれだけの段階を経ないとたどり着けない問題にいともあっさり答えてしまうER34Yutakaさんって?と思いきや、「どんな人:専門家」、ナルほどー。

きっと今後もお世話になりますので、よろしくお願いします。

お礼日時:2001/06/04 23:07

log(1+h)をh=0の近傍でマクローリン展開してみましょう。


もう1つの方も同様に、e^xをx=0の近傍でマクローリン展開すると
きちんと解が導けます。

f(x)のマクローリン展開

  f(x)=f(0)+f'(0)x+(1/2)f''(0)x^2+(1/3!)f'''(0)x^3・・・・・

です。
f'(0)はf(x)の1回微分にx=0を代入したもの、f''(0)は2回微分に
x=0を代入したもの、以下微分回数が増えたものです。
当てはめてみましょう。

この回答への補足

q=85101でもマクローリン展開を使った解法は教えていただきました。
しかしここでは「微分を使わずに」解きたいのです。(詳細はq=85101をご覧下さいませ。)

よろしくお願いします。

補足日時:2001/06/04 22:06
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自然対数e≒2.71828の定義は
e:=lim[h→0](1+h)^(1/h)
ですが
これに対して
lim[h→∞](1+h)^(1/h)

lim[h→∞](1+1/h)^h

lim[h→0](1+1/h)^h
の極限はどうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

log{ (1+h)^(1/h) } = log(1+h)/h -> 0 ( h -> ∞ )ですね

(1+1/h)^h = (1+t)^(1/t) ( t = 1/h) ですね

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Qlim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1)は?

lim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、x の代わりに(x+1)にした場合:
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1) どうなりますか?
たぶん e だとは思うのですが。解き方も教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>y^(n+1)/y^n や (n+1)y/ny なんかだと+1が生きてきますよね。
そのとおり、+1を無視するわけにいきません。また、先の回答が+1を無視しているわけでもありません。
この問題を少し変えて、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)
とすれば、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)=lim_[x→∞](1+1/x)^x *(1+1/x)=e
(∵ x→∞ のとき(1+1/x)^x→e ,(1+1/x)→1)

lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x
とすれば、y=x+1 とおいて
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x=lim_[y→∞](1+1/y)^(y-1)=lim_[y→∞](1+1/y)^y /(1+1/y)=e
(∵ y→∞ のとき(1+1/y)^y→e ,(1+1/y)→1)

結果は同じeですが、途中で+1を無視せずに解答する必要があるでしょう。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Qf(x1,x2)=12x1x2(1-x2) (0

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られる。
このP_Xを確率分布といい,特にXがX=(X1,X2)という確率ベクトルになっている時,
P_XをX1,X2の同時分布という。
独立とは∀A1,A2∈Fに於いて,P(X1∈A1,X2∈A2)=P(X1∈A1)P(X2∈A2)が成り立つ事で
ある。

「確率分布関数 f(x,y)において、
f1(x)=∫[-∞,∞]f(x,y) dy
f2(y)=∫[-∞,∞]f(x,y) dx
と定義すると、確率変数x,yが独立であることの必要十分条件は
f(x,y)=f1(x)f2(y)」
と思いますので

f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞

f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞

と求めましたがこれから先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られ...
続きを読む

Aベストアンサー

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2(1-x2)[x1^2] [x1:0~1]
=6x2(1-x2) (0<x2<1)
f2(x2)=0 (0<x2<1以外)

f1(x1)f2(x2)=2x1*6x2(1-x2)
=12x1x2(1-x2)=f(x1,x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
f1(x1)f2(x2)=0=f(x1,x2)(0<x1<1,0<x2<以外の時)

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2...続きを読む


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