高校数学 整数問題

質問したいことがあります。

「3より大きな素数pについて、p^2を12で割った余りを求めよ」

という問題があり、その解説で、
「pは3より大きい素数だから、2でも3でも割り切れない。よって、2と3の最小公倍数6で割った余りで分類する」の「よって、2と3の最小公倍数6で割った余りで分類する」のところの理由がどうしてもわかっておりません。

お分かりになる方がいらっしゃいましたら、助言頂けると助かります。

宜しくお願い致します。

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2014/06/05 13:51

3より大きな素数pについて、p^2を12で割った余りを求めよ

ですが、ｐについての場合わけを12で割ったときの余りで行えば、
ｐ＝１２ｋ＋ｒ

p^2＝12*12*k^2＋2*12*r*k＋r^2
　　＝１２（....）+ｒ^2
ｒ＝１～１１　として調べれば回答は作れる。

でも、６で割ったときのあまりで場合わけすれば

ｐ＝６ｋ＋ｒ

p^2＝６*６*k^2＋2*６*r*k＋r^2
　　＝１２（3k^2 + r*k）+ｒ^2
ｒ＝１～5　として調べれば回答は作れる。

ポイントは、ｐ＾２　の展開式の最初の2項が１２の倍数になれば良いので、
２*６＝１２　より、６での場合わけですむ。

２*ｍ　が12の倍数になるには、ｍは６の倍数
よって、なるべくｍを小さく取れば場合わけが少なくて済む。

よって、６のあまりで場合わけをする。

この回答へのお礼

uyama33さん

ご回答頂きありがとうございました。
大変よくわかりました。
お礼の返事が遅れ、大変申し訳ございませんでした。

お礼日時：2014/07/06 07:41

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/06/05 13:48

６で割った時の余りによって素数を分類すると、

６ｎ＋１　または　６ｎ＋５　・・・（１）
のいずれかになります。例えば６ｎ＋２は偶数なので
素数ではなく、同様に６ｎ＋３、６ｎ＋４も除外される
ためです。
（１）を二乗するとそれぞれ
（６ｎ＋１）＾２＝３６ｎ＾２＋１２ｎ＋１
（６ｎ＋５）＾２＝３６ｎ＾２＋６０ｎ＋２５
となっていずれも第二項までは１２の倍数です。よって
定数項だけ見れば１２で割った余りが判るという訳です。

この、「定数項だけ見れば」というのがミソで、そうするために
１２の約数である「６で割った余りによって分類」している
訳ですが、これが唯一の方法という訳でもありません。

たとえば１２で割った時の余りで分類すると
１２ｎ＋１
１２ｎ＋５
１２ｎ＋７
１２ｎ＋１１
これらを二乗するとやはり第二項までは１２の倍数になり、
定数項は１，２５，４９，１２１となるので、１２で割った余りが
判ります。６で割った余りで分類する場合に比べて計算の
量が増えてしまいますが、考えつきやすいやり方ではある
と思います。

この回答へのお礼

gohtrawさん

ご回答頂きありがとうございました。
大変よくわかりました。
お礼の返事が遅れ、大変申し訳ございませんでした。

お礼日時：2014/07/06 07:41