関数の極限

関数の極限で、sinやcosが出てくると分からなくなります。
例えば、
x→-0のときの1/sinxの極限です。
x→-0であるからx＜0となるのは分かるんですけど、そこから答えを導き方が分かりません。
x＜0から答えまでの説明をお願いします。

またsin、cosの問題について解くコツがありましたら教えて下さい。数列の極限は分かるんですけど、関数の極限が苦手なので、関数の極限全体の解くコツみたいなのがあればぜひ教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： postro 回答日時： 2004/05/19 17:58

x→-0のときの1/sinxの極限について。

x＜0　で、ｘが０に近いとき　sinx　の正負を考えます。
sinx＜0　でＯＫですね。
sinx＜0　なら　1/sinx＜0　ですね。
ここまで確定させれば安心です。
sinx　の絶対値がとても小さいときの　1/sinx　の絶対値はとても大きいことがわかれば（さっきの「負」を思い出して）答えは　∞　でなく　－∞　であることがわかります。
関数の極限全体についてアドバイスを１つ挙げるとすれば、「極限がどうなるかまず直感で予想する、その後確かめて予想が正しかったかどうか反省する」このことに心掛けると次第に自信が持てるようになると思います。

No.2 回答者： Largo_sp 回答日時： 2004/05/19 18:13

らあごです

postroさんの考え方でいいと思います。

極限ですから、まず、最終的な数字を入れてみましょう

1/sinx=1/0 で±∞になりますね…
で、Sinxの正負をかんがえれば…OKです

難しいのは、lim(x→0)x/sinx でしょうかね…
0/0となって…答えは1ですが…
これは公式として覚えても良いらしいです

ちなみに lim(x→0)cosx=1ですから、
sin cosのでてくる0/0になる極限はできるだけ、
上の二つの形にもっていくのが良いでしょう…

No.3 回答者： notnot 回答日時： 2004/05/19 20:01

テーラー展開とか知りませんか？昔は高校の範囲だったんですが。

sin(x)=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5....
cos(x)=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4....
なので、多項式にしてしまえばあとは約分して求まるでしょう。

lim(x→0)x/sinxなら、1/(1-(1/3!)x^2+...) なので、1ですね。

No.4 回答者： motchandesu 回答日時： 2004/05/20 00:05

sinx/x→0(x→0) は分かりますか？

これから、x/sinx→0(x→0) です。
これを利用して、
1/sinx=(x/sinx)*1/x で、x→-0 なら、x/sinx→1,
1/x→-∞ より、1/sinx→-∞(x→-0) です。

ちなみに、関数の極限のコツは、上の回答のように、知っている極限にもちこむ、ことですかね。
（極限だけじゃないんですけど。）