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log(1+x)を第三項(二次項)まで0のまわりでテイラー展開せよ。このとき、x=0.1における打切り誤差の程度(オーダー)を求めよ。ただし、必要ならばΣ[1→∞]1/k^2=π^2/6を用いても良い。

上の問題でテイラー展開をしたところlog(1+x)=x-x^2/2となったのですが打切り誤差のオーダーというものがわかりません。
打切り誤差の最大値がx^3/3なのでオーダーは0.0001でしょうか?
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

log(1+x)のx=0のまわりのテーラー展開


log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5+...
を前から2項で打ち切った場合の余剰項
R3(x)=log(1+x)-(x-x^2/2)=x^3/3-x^4/4+x^5/5+...

x=0.1のとき
 log(1+x)=0.0953101798...
 打切り誤差R3(0.1)=0.0953101798...-(0.1-0.005)=0.0003101798...
  =3.10...×10^(-4)
(参考)
 x^3/3=3.33...×10^(-4)

|打切り誤差|≒3×10^(-4)=0.0003<10^(-3)=0.001

打切り誤差のオーダー(程度)
 0.0003 または 0.001
(どちらになるかはオーダーの定義による)
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3次の剰余項を求め (0, x) の範囲での剰余項の絶対値の最大値を見積もる。


これが誤差の上限になります。
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Q打ち切り誤差の表現について

数値解析での打ち切り誤差についてお尋ねします。

f(x)=e^x があります。これはテイラー展開で表現できます。(これはもういろんな本に書いてあります。)
これを第n項までで止めた式をfn(x)とします。そうすると、f(x)-fn(x)はいわゆる打ち切り誤差ですね。片方は無限大、片方はそれをn項までで止めているのだから、結局この場合打切り誤差はe^xのテイラー展開のn+1項以上の表現だということになります。
それが、( e^s・x^(n+1) )/(n+1)! ここで(0<s<x) となるそうです。
この誘導ができません。x^(n+1)/(n+1)! でくくって残りがe^sとなることを証明できればよいのですが。平均値の定理か何かを使うのかなと思うのですが。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

中間値の定理を使えば証明できます。
f(x)-fn(x) を x^(n+1)/(n+1)! でくくった残りは (1+x/(n+2)+...) ですね。
つまり、
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Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
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回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
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・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qテーラー展開時のオーダーについて

x=0において何位の無限小になるか
sinx-x

この問題で解説には
「テイラー展開してsinx=x-x^3/3! + o(x^3)
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スモールオーダーってのはたしか
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どこの考え方が間違ってるかご教授お願いします。

Aベストアンサー

この場合の o(・) ってのは「x→0 の極限で比が 0 に収束する」って意味で
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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
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そこで、次のようなことを教えてください。
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(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qテイラー展開の剰余項

テイラー展開の剰余項とはどういうものなんですか?なにを意味しているんですか?またテイラー展開自体をうまく理解する、分かりやすく解説している良いサイトはありませんか?

Aベストアンサー

>テイラー展開の剰余項とはどういうものなんですか?なにを意味しているんですか?

この定理における剰余項は、この項だけが規則性から外れているものです。この剰余項は関数が多項式で近似できるかどうか重要な役割を演じます。


>またテイラー展開自体をうまく理解する、分かりやすく解説している良いサイトはありませんか?

やはり、ウィキペディアでしょう。いかにURLを挙げておくので参考にしてみてください。

一言で言ってしまうと、関数f(x)をxの多項式で近似することを考えたものです。


http://yukai.jp/~rwf/note/math/taylor/taylor.html

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q誤差の限界

f(x)=e^xをマクローリン展開し、eの近似値と、誤差の限界を求めよという問題なのですが。

 まず、eの近似値なのですが、これはf(x)をマクローリン展開したものにx=1を代入したものだと思うのですが、どうでしょうか?

 次に、誤差の限界ですが、これがまったく分かりません。どなたか解説をお願いします。

Aベストアンサー

e^xのマクローリン展開の余剰項はx=1で0に収束しますのでそのときeに一致することになります。

誤差に関しては余剰項が(exp(θx)*x^n)/(n!)となるのでそれを元に考えて見るといいでしょう。
『マクローリン展開 余剰項』で検索してもらえばわかると思います。

Q誤差の限界

以前はテイラー展開で教えていただいたのですが、複雑すぎて私には難しかったので、再投稿します。

√(100+x)の近似値として10+x/20をとることができる。
誤差の限界を調べよ。

テイラー展開を使う方法以外にありましたらお願いします!

Aベストアンサー

またお会いしました。(笑)

xの範囲は、0<x<t でしたよね?

まずは、復習のため、
前回提示した、テイラー展開でない方法を再掲します。

--------------
100+x = 100(1 + x/100)

ここで、1 + x/100 は、
1+x/100 = (1 + x/200)^2 - x^2/40000
なので、x^2/40000 が十分小さければ、
1+x/100 ≒ (1 + x/200)^2
よって
100+x ≒ 100(1 + x/200)^2
 = (10 + x/20)^2
よって、
√(100 + x) ≒ 10 + x/20

上記の計算途中に現れた
「x^2/40000 が十分小さければ」
のところが、題意ですね。

-------------------
以上で復習終わり。

A=(1 + x/200)^2
と置いて

近似前÷100は、 √(A - x^2/40000)

近似後÷100は、 √A

両者の比は、
近似前/近似後 = √{(A - x^2/40000)/A}
 = √(1-x^2/40000A)
 = √{1^2 - x^2/{40000(1+x/200)^2 }
 = √{1 - x^2/(200+x)^2}
 = {1 - x^2/(200+x)^2}^(1/2)
 ≒ 1 - 1/2・x^2/(200+x)^2
 = 1 - 1/2・1/(200/x +1)^2

1/2・1/(200/x +1)^2 の部分が誤差(1に対する比)なので、
|x|が大きいほど誤差が大きい、ということを示しています。

0<x<1 ですから、xの最大値は、せいぜい約1。
x=1を代入すると
誤差(1に対する比) < 1/2・1/(200/x +1)^2
 = 1/2・1/(200 +1)^2
 = 0.0000124 (=0.00124%)


#2さんのご回答と一桁違いますが、
私の回答は誤差の比、#2さんのご回答は実際の値、でのそれぞれの誤差だからです。
√(100+x) は、約10ですから。

またお会いしました。(笑)

xの範囲は、0<x<t でしたよね?

まずは、復習のため、
前回提示した、テイラー展開でない方法を再掲します。

--------------
100+x = 100(1 + x/100)

ここで、1 + x/100 は、
1+x/100 = (1 + x/200)^2 - x^2/40000
なので、x^2/40000 が十分小さければ、
1+x/100 ≒ (1 + x/200)^2
よって
100+x ≒ 100(1 + x/200)^2
 = (10 + x/20)^2
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