テイラー展開の打切り誤差

log(1+x)を第三項（二次項）まで０のまわりでテイラー展開せよ。このとき、x=0.1における打切り誤差の程度（オーダー）を求めよ。ただし、必要ならばΣ[1→∞]1/k^2=π^2/6を用いても良い。

上の問題でテイラー展開をしたところlog(1+x)=x-x^2/2となったのですが打切り誤差のオーダーというものがわかりません。
打切り誤差の最大値がx^3/3なのでオーダーは0.0001でしょうか？
よろしくお願いします。

No.2 回答者： info222_ 回答日時： 2014/07/29 13:07

log(1+x)のx=0のまわりのテーラー展開

log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5+...
を前から２項で打ち切った場合の余剰項
R3(x)=log(1+x)-(x-x^2/2)=x^3/3-x^4/4+x^5/5+...

x=0.1のとき
　log(1+x)=0.0953101798...
　打切り誤差R3(0.1)=0.0953101798...-(0.1-0.005)=0.0003101798...
　　=3.10...×10^(-4)
(参考)
　x^3/3=3.33...×10^(-4)

|打切り誤差|≒3×10^(-4)=0.0003<10^(-3)=0.001

打切り誤差のオーダー（程度）
　0.0003 または 0.001
(どちらになるかはオーダーの定義による)

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/28 20:16

３次の剰余項を求め (０, x) の範囲での剰余項の絶対値の最大値を見積もる。

これが誤差の上限になります。