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図はAB=6,AE=3で、GBを直径とする円と直線EFの交点をPQとし、Oから直線EFにひいた垂線の足をHとしています。三角形AGBとPGBはGBを軸として対称です。

このとき、HF=3と問題集に理由もかかれずに、自明のようにかかれています。
しかし、考えてもわかりません。どうしてHF=3なのか教えてください。

「高校数学、平面図形」の質問画像

A 回答 (7件)

#6です。


中線連結定理という言い方はよくないのかもしれませんが、
#4さんが書かれているように垂線を引けば三角形で話ができますよ。
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この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2014/07/30 17:24

#1です。


いろいろと説明がありますが、まず問題文をきちんと書けていないのではないですか?

図を見ると、6cm×3cmの長方形の紙を
一つの頂点が辺の上に来るように折り返したところを考えている問題だととらえました。
質問の内容だと、何が与えられている値で、何が求めた値かがはっきりしていないかと。

で、GEとOHとBFは平行で、GO=OBなので中線連結定理を使えば、HF=3cmはほぼ自明です。

この回答への補足

中点連結定理は三角形に成り立つ定理ではないのですか?
本問の場合、四角形GBFEであって三角形ではないと思うのですが、この場合も成り立つのでしょうか?

補足日時:2014/07/30 03:16
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2014/07/30 17:25

ANo.4の補足です。



質問者の方には大変失礼かと思いますが、HF=3は簡単に求められるので、自分は勘違いしてなぜAE=3という条件が設定されたのかを考えてしまいました。
全く参考にならないと思ったら、無視してください。
GがAからEまで移動することを考えた場合に、GとAが一致するときにはAEはこの円の半径になってAE=3になりますが、そうすると交点Pと交点Qが一致して、それは円とEFとの接点になります。
AE<3とすると、初めから交点Pと交点Qが存在してしまい、AE>3とすると、しばらくは交点Pと交点Qが存在しないので、円とEFが接するように初期条件を設定したのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2014/07/30 17:26

どうでもいいことですが、ふつうAとBが出てきたら、次にはCとDが出てくると思いますが、この問題には出てきませんね。



GからBFに垂線を下ろしてその足をC、GCとOHの交点をDとすると
三角形GBCと三角形GOBは、相似比2:1で相似
HF=6/2=3

高校数学の問題だとの先入観があると、中学校数学の相似のことなど思い出しませんね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2014/07/30 17:26

ABEFはそれぞれが90度ですよね、なので長方形と考えられます。


ABが6なので、HFはその半分と考えられ、3となるのではないでしょうか?
どうかな、、、、、
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2014/07/30 17:27

OHを延長してABとの交点をRとすると、△BORとBGAは


相似で、相似比は1:2になるので、BR=RA。

この回答への補足

大学への数学には自明のように、端折って書かれていますが(紙面の都合上?)、やはり、補助線を入れてきちんと考えないとHFはでないのでしょうか?

補足日時:2014/07/29 19:56
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2014/07/30 17:28

中線連結定理かな?

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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2014/07/30 17:28

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