閲覧ありがとうございます。
現在理系で学習を進めている大学1年生の者です。
剛体振り子の問題が解けなくて行き詰っています・・
画像の問なのですが、
(1)は棒が一様=重心が中点=慣性モーメントは1/12(ml^2)であってるのでしょうか?
(2)並進F=ma, 回転 Iβ(角加速度)=N に代入すると思うのですが
並進 ma=(-mgl/2)sinθ 回転 Iβ=(-mgl/2)sinθとなってしまい、特に並進運動の部分がよく分からないです・・・
(3)はθの関数というのがピンとこないのですが、
sinθ=≒θとおいて
θ(t)=Asin(ωt+α)
の形にすれば良いのでしょうか?
どなたか御教授して頂けたら幸いです。
A 回答 (2件)
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No.1
- 回答日時:
こんばんは。
☆(1)は棒が一様=重心が中点=慣性モーメントは1/12(ml^2)であってるのでしょうか?
◇はい。
IG = ∫[-l/2,l/2]ρx^2dx = (1/12)ρl^3 = (1/12)(ρl)l^2 = (1/12)ml^2
ですね。
ρは線密度で、ρl = m。
∫[-l/2,l/2]は-l/2~l/2の定積分。
☆(2)並進F=ma, 回転 Iβ(角加速度)=N に代入すると思うのですが
並進 ma=(-mgl/2)sinθ 回転 Iβ=(-mgl/2)sinθとなってしまい、特に並進運動の部分がよく分からないです・・・
◇I = IG + m(l/2)^2 = (1/3)ml^2
ですから、
Iβ=(-mgl/2)sinθ
(1/3)ml^2・β=(-mgl/2)sinθ (あ)
慣性モーメントI = IG + m(l/2)^2ですから、
運動方程式のIG・βは重心周りの運動をあらわし、
m(l/2)^2・βは重心の併進運動を表わしている、
ということを言えばよろしいのではないでしょうか。
☆(3)はθの関数というのがピンとこないのですが、
sinθ≒θとおいて・・・。
◇sinθ≒θとして、(あ)に代入すれば、
(1/3)ml^2・β=(-mgl/2)θ
ですよね。
β = d^2θ/dt^2 = θ''
なので、
(1/3)ml^2・θ''=(-mgl/2)θ
あるいは、さらに整理して
θ'' = -(3/2)・(g/l)θ
これは単振動の式ですよね。
No.2
- 回答日時:
(1)はそれで合ってます。
(2)の並進運動について
重心の座標(XG,YG)を使って力学的エネルギーを求めると(dXG/dt=XG’としますねYGも同様です)
運動エネルギーT=(1/2)m(XG’^2+YG’^2)
ポテンシャルU=mgYG
ラグランジアンL=T-U=(1/2)m(XG’^2+YG’^2)-mgYG
∂L/∂XG’=mXG’
∂L/∂XG=0
∂L/∂YG’=mYG’
∂L/∂YG=-mg
以上より(XG,YG)を使うと並進運動の方程式はこうなります
mXG’’=0 (1)
mYG’’=-mg (2)
となります。
ここからXG=(L/2)sinθ
YG=-(L/2)cosθ
としてXG’’とYG’’をもとめて、XG’’*cosθ+YG’’*sinθ=(L/2)θ’’
また(1)と(2)からXG’’*cosθ+YG’’*sinθ=-gsinθ
以上よりθを使うと並進運動の方程式はこうなります
(L/2)θ’’=-gsinθ
(L/4)θ’’=-(L/2)gsinθ (3)
回転運動については重心回りではモーメントは働いていないので
(1/12)mL^2θ’’=0
(1/12)θ’’=0 (4)
(3)+(4)より
(1/3)θ’’=-(L/2)gsinθ
となります。
長文失礼しました。
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