lim[x→∞] F(x)が極限値を持つ条件

数学の参考書に　lim[x→∞] F(x)が極限値を持つならば、lim[x→∞] F(x)/x＝０が必要
と書いてありましたが、その理由がわかりません。

例えば、lim[x→∞] {(1-a)x －b}=0のためには、lim[x→∞] {(1-a)x －b}/x=0が必要
と書いてありました。いきなり関数をxで割り算をしたものの極限をとるのは何故なのでしょうか？

どうぞよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： panasoniki 回答日時： 2014/08/04 13:58

x→∞としたときのF(x)とxのふるまいを比べたいからです。

もし、lim[x→∞] F(x)/x≠0とすると
lim[x→∞] F(x)/x＝a （a≠0）となり、
x→∞で　F(x) = ax くらいになります。
axは当然無限大に発散するのでF(x)も極限は持ちません。

したがって、極限値を持つなら最低限lim[x→∞] F(x)/x＝０が成り立っている
必要があります。

※ただし、逆が成り立つとは限りません。
例えば、log x　は発散しますが、
lim[x→∞] log x /x=0です。

この問題のように、関数の増え方などを調べるときに
F（x)/ log x とか
F（x）/ x^2 といった形で極限を考えることは良くあります。

数学や物理で、F(x)がだいたいx＾２くらいで増えていくとか、
別の関数に比べると増え方が少ないので、xが大きくなったら無視できるか等
関数のおおよその性質を知りたい場面はたくさん出てきます。

この回答へのお礼

詳しい回答、どうもありがとうございました。理解が深まりました。

お礼日時：2014/08/05 07:43

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/04 13:46

xは発散するから、例えば

f/xがa(≠0)に収束するなら
fはaxに近ずくということだから
発散しますよね。

直感的な理解はこれでよいと思いますが
いかがでしょう？

この回答へのお礼

早々に回答を下さり、どうもありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2014/08/05 07:42