係数を文字で表現する問題

係数を文字で表現する問題を考えていて、一応解けた(？)のですが、
こんな答案でいいのかな？と思い、悩んでいます。教えて頂ければ幸いです。
以下の画像に問題、答案をまとめております。
http://upup.bz/j/my21518PCLYtp1rTnp0IKFE.jpg


【こんな答案でいいのか？と悩んでいる理由】
この答は「f 0(x)、f 1(x)、...、f N(x)とG N(x)を用いて表せ」の指示を満たしているといえるのか？
と不思議に思った為です。k やk-1 の場合の物を使って表現してよいのだろうか、と思いました。
(※なお、f 0(x)等、不自然にスペースを入れているのは見やすくするためで、深い意味は有りません)

【補足：正規直交条件】
ここでは、任意の関数２つの内積をとり、区間[-1,1]でxで積分します。その際、
異なる関数を選んだら積分値が０、同じ関数だと１になる事を、正規直交条件としています。
一般的には、「規格直交系」と呼ばれる物に近いようです。以下のサイトが参考になります。
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/orthogon …

No.1 ベストアンサー 回答者： sunflower-san 回答日時： 2014/08/14 14:23

この答案ではダメです。

Gn(x)と書くと、nごとに決まった多項式があるみたいですが、問題文の趣旨はそうではなく、「任意のn次多項式をさしあたりGn(x)と表記しただけ」です。ということは当然、fkたちで展開した係数 ck も　Gn(x)の取り方に依存して変わってしまいます。だから正確を期すなら、任意のn次多項式Gn(x)が与えられた時、一意的な係数c1(Gn),...,cn(Gn)がとれて、・・・と書くべきものです。(意味が通じるものとして"(Gn)"の部分を省略しているだけです)
さて、問題文のfn(x)は「(n-1)次以下の正規直交基底」{f0(x),...,fn-1(x)}に「n次以下の正規直交多項式」fn(x)を加えた{f0(x),...fn(x)}がまた正規直交基底になるようなfn(x)のことでしょうか？
この条件が重要です。

さて、ここでは多項式f(x),g(x)の内積＜f(x), g(x)＞を「f(x)g(x)の-1から1までの積分」で定義していますね。(ルジャンドル多項式と呼ばれる直交多項式です)

Gn(x) = Σck fk(x) (k=0..nの和)と展開された時、各jについてcjがどうなるか知りたいわけですから、Gn(x)とfj(x)の内積をとってみましょう。
内積の線形性から
＜fj(x), Gn(x)＞=Σck ＜fj(x), fk(x)＞
ですが
f0(x),..,fn(x)が正規直交基底であることから
＜fj(x), fk(x)＞はk=jのときのみ1, ほかのkについては0ですね。
よって、
＜fj(x), Gn(x)＞=cj
こうして各係数cjたちをf0(x),...,fn(x)と Gn(x)を用いて表すことが出来ました。
直交性から「Gn(x)のfj(x)成分cjは、Gn(x)とfj(x)の内積に他ならない」ということが肝心です。

この回答へのお礼

　sunflower-san様
私自身のできていなかった所含め、大変詳しく説明して下さり、ありがとうございます。
すごくよく分かりました。

お礼日時：2014/08/15 09:08