nの階乗と2のn乗の比較

n! > 2^n -- (式1)
という記載を微積分の本で見ました。

式(1)を帰納法で解こうとしました。

k! > 2^k と仮定
k! / 2^k > 1 -- (式2) となる。
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(k+1)! / 2^(k+1) > 1
上記の左辺は
(k+1) k! / (2 * 2^k) となり
(k+1) / 2 * (k! / 2^k) -- (式3)
式(2)より
(k+1) / 2 -- (式4)が1以上となる時は式(3)>1が成り立つ。
式(4)が1以上となるのはk>=1の時。
よって、すべてのk>=1において式1は成り立つ。
----

というような解き方で正しいでしょうか?

他にもっと簡単な解き方はあるのでしょうか?

No.3 ベストアンサー 回答者： masudaya 回答日時： 2014/09/30 09:47

前の方の指摘もありますが，

帰納法を使うのであれば，初期で成立を確かめないといけません．
添付のグラフを確認しても，nが4以上で無いと成立しないので，
証明は以下の通りになると思います．

n=4のとき

n!=24
2^n=16

で成立

n=kのとき成立するとする．

k!＞2^k

このとき，(k+1)!=k!(k+1)， 2^(k+1)=2^k*2より

(k+1)！/(2^(k+1))=k!/2^k*((k+1)/2)で
k!/2^k>1でありkは4より大きいので k+1/2>1
よって (k+1)!/(2^(k+1))＞１ 今，kは正の数なので

(k+1)!>2^(k+1) が成立

よって証明された．

添付の図ですが，左が階乗の拡張であるΓ関数と2^xのグラフと
それでは数値が大きく見づらいので，それぞれを常用対数をとったもの
が右のグラフです．

この回答へのお礼

詳細な回答ありがとうございます。
グラフも参考になります。

> 帰納法を使うのであれば，初期で成立を確かめないといけません．

確かにそうでした。

今回は数列の収束判定として
1 + 1/2! + 1/3! ... + 1/n! < 1 + 1/2^1 + 1/2^2 ... + 1/2^n
というのが本の中で使用されていて、自分のなかで「本当なのか」の確認をしていました。

別途、sum(1/n!) < sum(1/a^n)というのも成り立つのを知りました。なかなか興味深いです。

お礼日時：2014/09/30 15:08

No.2 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/09/29 08:45

　階乗ですから、n≧1でしょうね。

　n=1：1!=1, 2^1=1、よって不成立。
　n=2：2!=2, 2^2=4、よって不成立。
　n=3：3!=6, 2^3=8、よって不成立。
　n=4：4!=24, 2^4=16、よって成立。
　n=5：5!=120, 2^5=32、よって成立。
　n=6：6!=720, 2^6=64、よって成立。

　nが4以上のとき成立するようですね。まず、nが3以下のとき、どうして不成立なのか考えてみます。

　3！＝1・2・3です（わざと、通常と逆順で書いています）。一方、2^3＝2・2・2です。両者の左辺を左から順に比べると、2＜1、2＝2、3＞2です。2＜1ということから、この二つの掛け算では3！が2^3より大きいかどうか不明になっています。そして、3＞2で埋め合わせできるかといえば、3×1/2＝1.5＜2ですから、できません。

　n＝4だと、4＞2であることで、ようやく埋め合わせができて、n!＞2^nが成立しています。

　ですから、1≦n≦3で不成立であることは認め、n=4で成立することを元に、n≧5でも成立するかどうか考えればよさそうです。

　自然数：1, 2, 3, 4, 5, …を数列と考えれば、n！（n≧5）と2^nを比較してみるのには、n！のうち、4！・5・6…・nと、2^4・2^(n-4)の大小を判定すればよいです。

　これの大小は自明です。もう「4！＞2^4」は分かっています。n-4個の5, 6, …, nと、n-4個の2を比べれば、5, 6, …, nはどれも2より大きいです。それなら、かけ合わせたら、5・6…・n＞2^(n-4)であることは、もう証明不要でしょう。そして、n！の残りの部分の4！と2^4の大小は分かっていますから、それぞれを不等式の左辺と右辺にかけても、大小関係は変わりません。

　以上を、証明っぽくかけばいいのではないかと思います。もちろん、帰納法で書いても何ら問題ありません。

この回答へのお礼

詳細な回答ありがとうございます。

n=1..3で不成立でしたね。

今回、数列の収束において (1/n!) < 1(2^n)を使っており、その経緯から今回の質問をさせていただきました。

きれいな証明をレポートとして提出するのでなく、自分の中での確認事項として必要でした。

ありがとうございました。

お礼日時：2014/09/30 15:05

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2014/09/28 22:06

＞よって、すべてのk>=1において式1は成り立つ。

＞n! > 2^n -- (式1)

式1にkは登場しませんね。
ところで、
n = 1
のとき、
1 = 1! < 2^1 = 2
となって、すべての自然数について式1が成り立つとは
言えませんが、大丈夫でしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

数列の総和にて (1/n!)の総和と(1/2^n)の総和の比較を行い、収束判定を行うという部分でこの比較がでてきました。

この場合、nが小さい時の不成立は問題ありません。

お礼日時：2014/09/30 15:02