借地の基礎工事中に出てきた廃棄物の処理代

＞借地契約をして…

借地、すなわちあなたは借りた側ですね。

＞処理代は、地主の責任で支払うべきでしょうか…

日本語としてちょっと文脈が合いませんけど、あなたは勝手に撤去してあとから費用を地主に請求するのでなく、基礎工事を中断してでも地主に撤去を要求しなければいけません。

その上で、地主が費用をあとで払うから工事を進めてくれというのならそれで良いし、地主がちょっと待て、その廃棄物がもともと誰のものであったか調査してそこへ話を持っていくとなれば、工事の長期中断もやむを得ません。

ごく最近、私の市の公共物建設で全く同じようなことがあり、裁判所も絡んだあげく最終的には、市が巨額の撤去費用を負担することになりました。
まあ、これは借地ではなく、市が買い上げた土地での話なので、ご質問の事例と全く同じというわけではないですけど。

＞やはり、私が過去の業者に撤去費用を請求する事ができないので…

業者のもう一つ前、その廃棄物のもともとの所有者が特定できれば、そことの話し合いの余地はあります。

とはいえ、これには裁判所の判断が必要となりますので、軽々に結論を出せるものではありませんけど。