高校物理、単振動

Question

滑らかな水平台の上に、軽いばねの両端に等しい質量ｍの球A,Bを付けておく。
 ばね定数はｋである。Aを速さｖで動かすと、A,Bが振動しながら重心Gは水平な台を直線移動した。

重心の速度ｖGと重心から見たAの振動の周期Tと振幅aを求めよ。
 重心から見たAの振動の周期Tと振幅aという意味がわからないです。また、どう考えていけばよいのかがわかりません教えてください。

naniwacchi · Accepted Answer

#1です。

＞まず、基本的な事なのですが、重心をかんがえているということは物体に大きさがある（剛体）と考えているのでしょうか？ 
2体の重心を考えているという意味では、少なくともばねの自然長だけは大きさを持つイメージになると思います。その後、重心とそれぞれの球との距離も考えていますので。
しかし、いまの問題では全体(「一つの物体」)としての大きさを考えることはあまり意味がないと思いますが。

先の回答では「一つの物体」と書きましたが、
#2さんが言われているように「一つの閉じた系」というのが正しい表現になります。
高校物理ではあまり「系」と表現は用いないですよね。

foomufoomu · Answer

No.1回答にもありますが、
運動量保存則というのは、別の見方をすると「ある閉じた系を考えた場合、その系の外部から力が加わらない限り、系の重心は、静止または等速直線運動する」という法則です。
「ある系」は繋がっていなくてもかまいません。系が同じ質量の物体2つから成るものであれば、重心は2物体の中央にあります。

例えば、「太陽と地球」という系を考えた場合、太陽がうんと重いので、重心は太陽の中心から少しだけ地球側に寄った所にあります。地球は公転しているのですが、それでも、その系の重心は静止または等速直線運動をしています。
（この系は月や他の惑星から力がかかるので、外部から力がかかっていて、あまり良い例ではありませんが。それらすべてを含めた系を考えれば、やはり全体の重心は静止または等速直線運動になります。）

質問の問題は、力学上は「重心点は動かない」と考えればよいので、その点でばねが固定されていると考えて、周期、振幅を求めればよいのです。

naniwacchi · Answer

こんばんわ。
ちょっと長くなりますが、ご容赦ください。

重心を考えるというのが、ちょっと特殊というか慣れてないと難しいかもしれませんね。
まず、2つの球とばねを大きく「一つの物体」ととらえてしまいます。
そして、その物体に対する運動量保存則を考えます。
球Aに与えた運動量はmv、「一つの物体」の運動量は2m・vGとなるので、
　mv＝2m・vGより vG＝v/2
と求まります。
なぜ、運動量保存が成り立つの？と思われるでしょうが、
ばねにはたらく力は「一つの物体」で考えたとき「内力」に相当する力です。
内力のみがはたらくときには、運動量は保存するというのが運動量保存則でしたよね。

結果、重心は等速直線運動をすることがわかります。
つまり、重心から見た球の運動は、静止している点から見た球の運動と同じということになります。(加速度がないので、それによる慣性力を考える必要がない)

ということは、重心を中心とした単振動を考えればよいことになります。
ここで注意しなければならないのは、ばね係数はばねの長さに反比例する点です。
すなわち
　[球A]---(ばね係数2kのばね)---[重心]---(ばね係数2kのばね)---[球B]

という構図になっています。
ということは、単振動の周期はT＝2π√(m/(2k))となります。

ばねがもっとも縮んだ(伸びた)とき、球は重心に対して停止していることになります。
全体でばねがaだけ縮んだとき、球A～重心と球B～重心はそれぞれa/2だけ縮むことになります。
球Aを速さvで動かしたとき、重心と球Aの相対速度はv-vG＝v/2となるので、
　1/2・m・(v/2)^2＝1/2・2k・(a/2)^2より a=√(m/(2k))・vとなります。

あるいは、単純に力学的エネルギー保存則を用いて、
　1/2・m・v^2=1/2・2m・vG^2 + 1/2・k・a^2

から、aを求めることもできます。

この問題は単純なようで、なかなか奥が深い問題です。

高校物理、単振動

#1です。

No.1回答にもありますが、

こんばんわ。

この回答への補足

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