理科 有効数字

かけ算、割り算のとき、どの桁まで計算するかということについて教えてください。

例えば、有効数字2桁で答えるときは、途中計算は３桁目まで計算すると習いました。このとき、4桁目を四捨五入するのですか？それとも切り捨てるのですか？

例：3.51×4.9×0.30を計算する場合、
　　Ａ：4桁目を四捨五入するのが正しい場合
　　　　3.51×4.9＝17.199＝17.2
　　　　17.2×0.30＝5.16＝5.2
        Ｂ：4桁目を切り捨てるのが正しい場合
　　　　3.51×4.9＝17.199＝17.1
　　　　17.1×0.30＝5.13＝5.1
ＡＢのどちらが正しい計算なのでしょうか？

Ａが正しい場合、
計算の順序を変えてみます。
3.51×0.30×4.9＝1.05×4.9＝5.145＝5.1

Ｂが正しい場合、
計算の順序を変えてみます。
4.9×0.30×3.51＝1.47×3.51＝5.197＝5.2

このように、A、Bのどちらが正しいとしても、最終結果に違いが出てしまっているのですが、入試や模試ではどのように採点されているのでしょうか。

回答よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： 101325 回答日時： 2014/11/05 10:03

ちょっと気になったので調べてみたのですけど、「4桁目を切り捨て」と指導している人もいるみたいですね。

http://shinken.zemi.ne.jp/nigate/science/a13q05b …

四捨五入か切り捨てかは、「途中計算は３桁目まで計算する」という文をどう解釈するかに依るのだと思います。

＃３さんの回答にあるように、「17.199は17.2と17.1のどちらがよく近似できているか」を考えれば、４桁目を四捨五入することになります。それに対して、「途中計算は３桁目まで計算するということは、３桁目で計算を"打ち切る"ということだ」と解釈するなら、切り捨て派になります。

かけ算の場合だと、なぜ切り捨てるのか、が分かりにくいのですけど、割り算の場合では、３桁目で計算を打ち切るということは４桁目を切り捨てたことと同じになるというのが分かると思います。

四捨五入のメリットは、リンク先の計算例から分かるように、正しい計算結果に近い結果が得られる確率が切り捨てよりも高い、ということです。

それに対して、切り捨てのメリットは、割り算が楽になる、ということです。質問者さんの例やリンク先の計算例では、かけ算しかありませんから、切り捨てのメリットはありません。

割り算を含む計算の場合は、四捨五入は切り捨てよりも計算量が増えます。それを回避するには、「割り切れない割り算は最後にまとめて一度だけする」といいです。途中で割り算をすると４桁目まで計算して４桁目を四捨五入しなくてはなりませんけど、最後で割り算をすると３桁目まで計算して３桁目を四捨五入すればいいからです。

リンク先の解説に「有効数字を使った計算では，誤差が拡大したり不要な桁が増えたりしないように」とありますけど、そのポリシーに従うのなら切り捨てではなく四捨五入にするべきでしょう。つまり
　(1)途中計算は，求める答えより１桁多い４桁を残し，以下を切り捨て
　(2)最終的な答えだけ，残しておいた４桁目を四捨五入して３桁とする
ではなく
　(1)途中計算は，求める答えより１桁多い４桁を残し，以下を"四捨五入"
　(2)最終的な答えだけ，"いきなり"４桁目を四捨五入して３桁とする
とするべきでしょう。

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです！

ありがとうございました。

お礼日時：2014/11/05 17:48

No.3 回答者： windwald 回答日時： 2014/10/27 23:11

いや……どうして切り捨てるのが正しいと思うの？

自分で例を出している計算例でいえば、
17.199は17.2と17.1のどちらがよく近似できていると言えますか？

No.2 回答者： 101325 回答日時： 2014/10/27 21:21

4桁目を四捨五入します。

切り捨ててはいけません。

途中計算で四捨五入しないで、有効数字を考えずに“正しい”計算をすると
　3.51×4.9×0.30＝5.1597
となります。しかし、有効数字を考えて、0.30という数字には±0.005の誤差が含まれる、とするなら
　3.51×4.9×0.005＝0.085995≒0.09
ですから、0.30の有効数字を考慮した答えは
　3.51×4.9×0.30＝5.16±0.09
になります。

5.1と5.16の差は -0.06 です。
5.2と5.16の差は +0.04 です。
どちらも±0.09の範囲に収まっていますから、どちらも正解です。

最終結果に違いが出てしまっているように見えるかもしれませんけど、有効数字をきちんと考えるなら、最終結果には違いはありません。

なお、今回の例では、四捨五入でも切り捨てでも同じ答えになりましたけど、一般には、そうはなりませんので気をつけてください。四捨五入は丸め誤差を相殺しますが、切捨てでは丸め誤差が積もっていきます。また、丸め誤差を恐れて四捨五入をしない、というのも、限られた時間で筆算で計算しなければならない状況では、ナンセンスです。

あと、桁違いの答案には、一点も入らない可能性が高いので気をつけましょう。こうした凡ミスをさけるためには、桁数を落として概数計算で
　3.51×4.9×0.30≒3.5×5×0.3＝(3.5×0.3)×5≒1×5＝5
のように、検算するのがいいでしょう。

No.1 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/10/27 19:26

＞例：3.51×4.9×0.30を計算する場合、

そもそもそこから違う。有効数字は
3.51　　３桁
4.9　 　２桁
3.0×10¹２桁
　どう計算しても２桁以上の有効数字は得られない。
　途中で丸めたらダメ・・・
3.51×4.9×3.0 × 10 = 51.597 ×10 = 5.2 × 10²

＞Ａ：4桁目を四捨五入するのが正しい場合
＞Ｂ：4桁目を切り捨てるのが正しい場合
　いずれも、ありえない。絶対にしてはならない。段階が多くなると何重にも丸めてしまう。極端に言うと
　4.445 三桁に丸め 4.45 ２桁に丸め 4.5 一桁に丸め 5　
　実際には、4.445は、4.5に近い!!計算途中で丸めてはならない。煩雑になるなら当然3桁に丸めてもよいが四捨五入です。

　⇒有効数字 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%8A%B9% … )