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こんにちは。
集合論の本を読んでいて、わからないところがあります。お力をお貸しください。
わからないところは、ベキ集合のベキを無限にとることによって、無限濃度の可算増加列が得られるが、その可算列の先のさらに大きな濃度の集合Mをとることができるというところです。
自然数の集合Nのベキ集合をB^1(N)とし、そのベキ集合のベキ集合をB^2(N)とすれば、上述の無限濃度の増加列が、「|N|<|B^1(N)|<|B^2(N)|<…<|B^n(N)|<…」として得られます。
このとき、M=⋃(n=1から∞)B^n(N)とおけば、「|B^n(N)|<|M|」が導かれるというのです。
私の疑問は、「n=1から∞」までのB^n(N)の和集合の濃度が、本当に|B^n(N)|を超えるのか?というところです。
といいますのも、アレフにアレフゼロを足してもアレフのままであるように、和集合が単純にB^n(N)より大きくなるとは言えないんじゃないか?と思うからです。
この論理の根拠は(すなわち和集合と濃度の関係についての上述の論証の根拠は)どのようなものなのでしょうか?
アドバイスお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
正確に書けば
M=⋃(n=1から∞)B^n(N)とおけば、『任意の自然数nに対し、|B^n(N)|<|M|が成り立つ』、ですよね。
任意の自然数nを取ってくると、Mの定義から明らかに|B^n(N)|< |B^(n+1)(N)| ≦|M|でしょう?(だってM⊃B^(n+1)(N)ですし)
この回答への補足
ありがとうございます!
正確に書けばその通りです!!すべてのnに対してとありました!
ミソとなっているのは、『「任意の自然数n」と「∞」の関係』ということですか?
どのような自然数nをとってきてもそれを超えるn+1ないし∞が後に続いているということでしょうか?
どうも可算増加列「1<2<3<…<n<…」を与えて、「この可算列の先」という言い方をすると
『「1<2<3<…<n<…」+α』のαを考えてしまいます。ここではあくまでも「1<2<3<…<n<…」の内で、任意のnとその先の話のことを議論していると考えてよいでしょうか?
?ばかりで申し訳ありません…。
お願いします。
No.2
- 回答日時:
そもそも無限が絡む議論をしているのに、そんな「感覚」で捕えようとしてどうするのですか。
一つ一つ「定義は何か」ということを、感覚でとらえないで定義から正確に把握して議論してください。例えば数列(a_n)が与えられた時、lim_(n→∞)a_nというのは「∞」というのを使わない形で定義されているでしょう?数列におけるlim_(n→∞)a_nというのはどういう定義だったでしょうか。
それと同様にそもそも⋃(n=1から∞)B^n(N)の定義を正確に理解しているでしょうか?一度補足に書いてください。その上で、私が書いた説明について不明な点があれば、改めて書いてください。
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