微分係数・導関数

微分係数と導関数の違いって何ですか？
教科書ではf'(a)のaをxに置き換えて…と説明していますが、文字をひとつ変えるだけで、新しい言葉を出すくらい、そんなにも意味って違ってくるのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： goo-learner 回答日時： 2015/01/18 21:46

吉田洋一先生の微分積分学序説によるところですが、用語の定義から整理すると良いようです。

まず、微分という言葉ですが、動詞として「微分する」というのは一般に理解されているとおりです。

さて「微分」という名詞ですが、まずは、2次元の場合、平面の曲線上の注目する点を原点として、ｘ軸に平行なdx軸とy軸に平行なdy軸からなる新たな直交座標系の変数とされています。この座標系において曲線の接線は原点を通る直線dy = a * dxになります。このとき着目すべきことは、一般に感覚的にとらえられているようにdxやdyは微小な値である必要がないということです（もとより数学的には有限値は平等に有限値であり微小という概念はありません）。dyもdxも名前が「微分」というだけで、ただの変数です。そして、aは「微分」と「微分」の比を表す係数なので「微分係数」と呼ばれるわけです。語源も納得できると思います。

「微分」は、多変数の関係でも考えることができます（dx,dy,dz...）。ここでは、どれが独立変数かは特に念頭にありません。

さて、yがxの関数である場合、微分係数dy/dxもxの関数になります。そして、この関数の値はyの方向付けをするもの、yを導くものということで「導関数」と呼ばれています。

まとめると、微分係数は特段関数関係を考えず「微分」と「微分」の比を取っもの、導関数はそれを独立変数の関数と捉えたものと理解できると思います。

No.4 回答者： goo-learner 回答日時： 2015/01/18 22:43

#3です。

#2様のおっしゃる通り、関数と従属変数（つまり関数値）は別物です。そういう意味では、導関数は関数、微分係数は導関数の関数値ということになります。y = f(x)のときに便宜的に「yはxの関数である」と言ってしまう場合があるのでそれが、混乱の元ですね。

この回答へのお礼

みなさん回答ありがとうございました。

定数・変数、値・関数というところで違いがわかってきました。
ありがとうございました。

お礼日時：2015/01/19 11:33

No.2 回答者： jmh 回答日時： 2015/01/18 21:38

> 微分係数と導関数の違いって何ですか？

>
微分係数は極限操作などの結果として得られる「値」です。
導関数は名前の通りに「関数」です。関数とは数に数を対応させる規則のことであって、そこに現れる数そのものではないです。
微分係数は導関数に代入しても得られます。そこで予め「ｆ’（ａ）」と書きます。
例えば、２は（ｙ＝ｘ^２のｘ＝１における）微分係数、ｙ’＝２は（ｙ＝２ｘの）導関数。

No.1 回答者： info222_ 回答日時： 2015/01/18 18:13

>微分係数と導関数の違いって何ですか？

微分係数は f'(a)と書けば定数（x=aにおけるy=f(x)の傾きf(a)）となり、f'(x)と書けば導関数と同じ意味になります。

導関数はf(x)の微分f'(x)で変数xの関数です。

したがって、微分係数の方が広い意味で使われます。

以上の用語の意味であれば

>教科書ではf'(a)のaをxに置き換えて…と説明していますが、文字をひとつ変えるだけで、新しい言葉を出すくらい、そんなにも意味って違ってくるのですか？

の言っていることが理解できませんか？

aは一般的には定数を表す文字であり、微分係数f’(a)は定数です。f'(a)は微分係数と呼びますが導関数とは呼びません。

xは一般的には変数を表す文字であり、その微分はf'(x)でxの関数です。この関数f'(x)を導関数と呼びます。このf'(x)は、広い意味では微分係数と呼ぶこともあります。