連続関数は関数記号と極限記号を入れ替えられる

連続関数であれば関数記号（fのこと）と極限記号（limのこと)を入れ替えることができる事を
以下のように示したのですがあっていますか。

(証明）

関数f(x)がx=aで連続
⇔lim[x→a]f(x)=f(a)

このときlim[x→a]x=aであるので

lim[x→a]f(x)=f(a)
⇔lim[x→a]f(x)=f(lim[x→a]x)

よって連続関数であれば関数記号と極限記号を入れ替えること
ができる

(証了)

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2015/01/24 19:17

良いのではと思う・・!

f(x)がx=aで連続であると仮定されているので・・、
関数f(x)がx→aで連続 ⇔・lim[x→a]f(x)が存在する
　　　　　　　　　　　　　　　 ・f(a)が存在する
　　　　　　　　　　　　 　　　・lim[x→a]f(x) = f(a)
・・・で、f(a)=f(lim[x→a]x)であるのでlim[x→a]f(x) = f(lim[x→a]x)
が言える!