ヤコビアンとはどういうものですか?どういった時に使えるものですか?

A 回答 (2件)

変数が2個以上ある多変数関数の微分積分などを変数変換を介して行う場合に必要になります。



最も簡単な具体例で説明しましょう。x,yを変数とする関数f(x,y)の領域Dにおける積分は一般的に

I=∫Df(x,y)dxdy

であらわされますが、ここではf(x,y)=1

でDは半径1の円とします。つまり

I=∫Ddxdy (D:x^2+y^2≦1)

を求めよ。答えは円の面積πです。

解:デカルト座標から極座標に変換します。

x=rcosΘ、y=rsinΘ

このとき

I=∫D(x,y)dxdy=∫D(r,Θ)J(x,y,r,Θ)・drdΘ

というようにx,yとr,Θを関連付ける関数J(x,y,r,Θ)が必要になります。これがヤコビアンです。ヤコビアンは行列式で表されます。

具体的には

J(x,y,r,Θ)=

|∂x/∂r ∂y/∂r| |cosΘ sinΘ|
|∂x/∂Θ ∂y/∂Θ| = |-rsinΘ rcosΘ| =r

となり

I=∫(Θ:0→2π)∫(r:0→1)rdrdΘ=[r^2/2](Θ:0→2π)(r:0→1)=2π/2=π

I=∫D(x,y)f(x,y)dxdy のように関数f(x,y)をDで積分する場合は

I=∫D(r,Θ)f(r,Θ)・J(x,y,r,Θ)drdΘ

のようにヤコビアンJを用います。
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この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございました

お礼日時:2015/02/06 16:29

こんばんは。




☆ヤコビアンとはどういうものですか?
◇こういう感じのものです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3% …


☆どういった時に使えるものですか?
◇変数変換の時によく使います。
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惜しい。
多項式が因数分解済みの形で表記してあることを
「既約」というのではありません。
その多項式自体が因数分解不能であることを
「既約」というのです。

例えば、同じ式を
x↑2 - 1 と書いても、(x + 1)(x - 1)と書いても、
この式が有理係数の範囲で2つの一次因子の積に
分解可能であることには、変わりがありません。
x + 1 と x - 1 は、どちらも既約ですが、
(x + 1)(x - 1) は、可約なのです。

x↑2 + 1 であれば、実際係数の範囲では、
これ以上分解することができません。
この状況を、「x↑2 + 1 は、実数上既約だ」
といいます。

尚、因数分解できる/できないの話ですから、
本来は、係数の範囲を明示する必要があります。
文脈上、誤解の余地がなければ、
省略しても構いませんが。

そういった訳で、与えられた多項式が
既約か可約かを判定することならできますが、
「既約な多項式にする」ことなど不可能です。

Qヤコビアンについて質問です。

ヤコビアンってどういう意味ですか?
多変数関数を全微分した時の行列式みたいな感じで書いているサイトがありましたが、どういう意味があるのでしょうか?
よくわからないのでわかりやすく教えてください。

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2変数関数f(x,y)をある区域Dで積分するとします.

∬_Df(x,y)dxdy

これは面積要素dxdyにf(x,y)をかけたものを点(x,y)をDを一掃するように動かして足し合わせるということです.

この積分をxy直角座標系ではなくrθ極座標系で行うこともできます.そのとき

∬_Df(rcosθ,rsinθ)drdθ

では間違った結果を導きます.なぜならdrdθは面積要素ではないからです.極座標での面積要素は図を書けば分かりますが

rdθ×dr(動径方向dr,θ方向rdθの長方形)

となります.つまり,dxdy=rdrdθとすればよいのです.このrをヤコビアンというのです.

もし3変数関数の積分であればxyz直角座標系での体積要素dxdydzは球座標系ではr^2sinθdrdθdφとなり,ヤコビアンはr^2sinθとなります.

これを数学的にきちんと表現するとdet(∂x_i/∂u_k)のような行列式がでてくるのです.詳しくは数学書をみましょう.

Qヤコビアンの解りやすい説明が書いてある参考書か、よければ此処で教えてください。

大学の微分積分を独学で勉強しているのですが、どうも、ヤコビアンがよくわかりません。今後、統計学も学ぼうと思っているのですが、どうも、線形変換、変数変換の理解ができていないと大きくつまずくような気がするのです。
特に、同時分布において確率密度関数から確率を求める場合、かならず2重積分が必要になるし、相関係数とか共分散を求める場合にも関係するのではないのかと思います。

特に、わからないと感じるのは全微分の逆と考えられるのか?とか、置換積分のように逆に計算できるのかなど今ひとつ直観的にわからない点です。どなたか良いアドバイスお願いします。

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 #3,4です。画像が見にくかったと思います。ここの画像アップの扱いは難しいですね・・・。

>上の説明ではj^-1だが2重積分においては|j|になるのか?・・・

 混乱しやすい所で、わかりにくい説明をして御免なさい。1変数の場合、置換積分は、

  ∫F(x)・dx=∫F(f(u))・df/du・du

になりますが(x=f(u))、df/duが、1変数の場合のdetJになるのは、おわかりだと思います。このとき考えている変換は、x→uではなくて、u→xです。なので、前回の記述では変換を、

>u=f(x,y),v=g(x,y)

ではなくて、

  x=f(u,v),y=g(u,v)

と書けば良かったと思います。これのヤコビ行列をJとすれば、

  ∬F(x,y)・dxdy=∬F(f(u,v),g(u,v))・detJ・dudv

となり、ご紹介したリンクの直感的意味も、納得頂けると思います。

 以下、余談です。
 線形代数を自力で学ぶ場合、線形代数における行列式論の「位置付け」がわかりにくいかも知れません。ふつうに言う線形代数の内容は、一部中途半端な面があります。というのは、それはテンソル(多重線形代数)を含まない事になっているからです。しかし、行列式の正体はじつはテンソルです。でも、ふつうの線形代数は何よりも、連立一次方程式の解法から始まったので、「線形代数の道具としての」行列式を導入せざる得ない事情もあります。
 線形代数における行列式論は、テンソルからの(そうだと言わない)密輸入という事になり、線形代数の理論構成上は、非常に「浮いた立場」にいます。なので、行列式の定義などでは、「これはこういうものなのだ」とある程度割り切って、読む必要が生じます。こういう事は大学に行けば、たぶん講義の余談として教えてもらえるのだと想像しますが、そこが独学の辛いところです。

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 #3,4です。画像が見にくかったと思います。ここの画像アップの扱いは難しいですね・・・。

>上の説明ではj^-1だが2重積分においては|j|になるのか?・・・

 混乱しやすい所で、わかりにくい説明をして御免なさい。1変数の場合、置換積分は、

  ∫F(x)・dx=∫F(f(u))・df/du・du

になりますが(x=f(u))、df/duが、1変数の場合のdetJになるのは、おわかりだと思います。このとき考えている変換は、x→uではなくて、u→xです。なので、前回の記述では変換を、

>u=f(x,y),v=g(x,y)

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グラフが書いてあり、

持ち家と借家の住宅1戸辺りの床面積(平均値)の国際比較で、また全体はこれらを持ち家総個数と借家総個数で加重平均したものである。
といった文章です。

加重平均とはいったいなんのことなのでしょうか?

ご存知の方よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

全体加重平均
(持ち家総個数×持ち家1個当たり平均面積+借家総個数×借家1個当たり平均面積)/(持ち家総個数+借家総個数)
結局、
全体加重平均
=(持ち家総面積+借家総面積)/(持ち家総個数+借家総個数)
のことではないか。


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