数学 ヤコビアン

ヤコビアンとはどういうものですか？どういった時に使えるものですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/02/05 23:52

変数が２個以上ある多変数関数の微分積分などを変数変換を介して行う場合に必要になります。

最も簡単な具体例で説明しましょう。x,yを変数とする関数f(x,y)の領域Dにおける積分は一般的に

I=∫Df(x,y)dxdy

であらわされますが、ここではf(x,y)=1

でDは半径1の円とします。つまり

I=∫Ddxdy (D:x^2+y^2≦1）

を求めよ。答えは円の面積πです。

解：デカルト座標から極座標に変換します。

x=rcosΘ、y=rsinΘ

このとき

I=∫D(x,y)dxdy=∫D(r,Θ)J(x,y,r,Θ)・drdΘ

というようにx,yとr,Θを関連付ける関数J(x,y,r,Θ)が必要になります。これがヤコビアンです。ヤコビアンは行列式で表されます。

具体的には

J(x,y,r,Θ)＝

|∂x/∂r ∂y/∂r| |cosΘ sinΘ|
|∂x/∂Θ ∂y/∂Θ| = |-rsinΘ rcosΘ| =r

となり

I=∫(Θ:0→2π)∫(r:0→1)rdrdΘ=[r^2/2](Θ:0→2π)(r:0→1)=2π/２＝π

I=∫D(x,y)f(x,y)dxdy のように関数f(x,y)をDで積分する場合は

I=∫D(r,Θ)f(r,Θ)・J(x,y,r,Θ)drdΘ

のようにヤコビアンJを用います。

この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございました

お礼日時：2015/02/06 16:29

No.1 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2015/02/05 21:24

こんばんは。

☆ヤコビアンとはどういうものですか？
◇こういう感じのものです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3% …


☆どういった時に使えるものですか？
◇変数変換の時によく使います。