5C3…の考え方？

Question

確率の問題を説いているのですが、５C３じゃなくて、直感的に考える方法がありそうな気がして困って（？）います。

そもそも、この５C３を計算するときの分母なのですが、どうして３×２×１なのでしょうか？

５C２の時、私は（分母の２について）「A、B」と「B,A」の組み合わせがダブっている。そのように、全ての組み合わせを列挙すると、必ず　２個ずつダブっていることが、すぐにわかる。２倍カウントしてしまっているのだから、２で割る。・・・このように「ダブっている数が２」という理解の仕方をしています。

これと同じような説明が５C３についてもあるのでしょうか？
この場合の分母は３×２＝６ですから・・・たとえば、
「３つを選ぶ場合は、必ず６倍カウントしていることになるだろう？」
という理屈がありますか？

・・・もしも、Cの考え方について、直感的でわかりやすい説明があれば、よろしくお願いいたします。

soixante · Accepted Answer

まず、「P」から見ましょう。

５P３　の場合、「5個のものから3つ選んで、並べる方法の数」

A、B、C、D、E　　から3つ取り出して並べるとして、そのパターンは、

①　1枚目に来るカードは、A、B、C、D、E　の5通りがあります。
②　2枚目に来るカードは、①で選ばれたカード以外の４通りがあります。
③　3枚目に来るカードは、①②で選ばれたカード以外の3通りがあります。
（選ばれないカードも2枚あります）

そういうわけで、①～③を見ると、5×4×3＝60通り　の並べ方があります。
この場合は、並べ方なので、３つの顔ぶれが同じであっても、
並べ方が違えば、違うものとしてカウントされています。
たとえば、選ばれた３つが、A、B、C　だとすれば、
ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA  の　6通りの「並べ方」があるけど、これらは別カウント。

いっぽう「Ｃ」の場合。

５C3　の場合、「5個のものから３つを取りだす組合せ」

A、B、C、D、E　　から3つ取り出す。

これは、上で見た通り、結果的に、A、B、C　を選んでくるとしても並べ方は関係がないので、
ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA  の　6通りは、すべて同じこと。
つまりこの重複を除かねばならない。

この6通りはどう考えるのかというと、たとえば、
「3枚のカード、A、B、C　がある。これらのすべての並べ方は何通りあるか」と同じこと。

となれば、
①　一枚目のカードになるのは、A、B、C　の3通り
②　二枚目のカードになるのは、①で選ばれたカード以外の２通り
③　三枚目のカードになるのは、①②で選ばれたカード以外の残りの1枚。勝手に決まる。（1通り）
この①～③　を考えると、　３×2×１＝6通りとなる。


だから、5P3　を　３×2×１　　で割っている、
つまり、「すべての並べ方」を、「重複しているパターン」で割っている、
とわたしは認識しています。

papabeatles · Answer

問題を簡単にするためにＡＢＣ3つのモノから何個かを選ぶと言うのを考えましょう。
１こだけ選ぶ即ち３Ｃ１です。
当然三通りの選び方があります。
2つ選ぶ時を考えます。
順番に取ることを考えますと
ＡＢ、ＡＣ、ＢＡ、ＢＣ、ＣＡ、ＣＢ６通りになります。
でもＡＢ、とＢＡは同じですよね。ですから２＊１で割ることになります。
３Ｃ２＝３！／２！になるのはおわかりでしょうか。
では３つ選ぶことを考えますと
ＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡ
で６通りになりますが、どれも同じですので
３Ｃ３＝３！／３！
即ち１になります。

spring135 · Answer

5C3=5C2=5!/3!2!=5*4/2*1=10

この公式を学んだ時に聞いたはずですが、5個の中から３個取り出す取り出し方は、5個の中から2個取り出す取り出し方と同じということです。当然ですね。取り出して残った方に注目すれば納得できます。

5C3…の考え方？

問題を簡単にするためにＡＢＣ3つのモノから何個かを選ぶと言うのを考えましょう。

まず、「P」から見ましょう。

5C3=5C2=5!/3!2!=5*4/2*1=10

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