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質量M,mの質点をばねでつなぎ、なめらかなx軸上水平面で質量Mの質点に任意の初速を与えた時の運動を解析したいのですが、運動方程式の立て方がわかりません。
教えていただきたいです。

A 回答 (2件)

ここで説明すると大変なので、下記などを参照してください。

手抜きですみません。

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95% …

http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/physicsI/ …
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まず、衝突の問題では運動量の総和が保存し、重心速度は一定です。


すなわち、適当に伸縮していそうなバネでも実は伸び縮みしていない点(重心)があります。
ゆえに、そこから見れば(重心系)、Mとmは両側で単振動しているように見えます。
このとき重心の両側をそれぞれ独立のバネとして扱っていいのです。
あとはバネ定数と、初期条件に注意すれば単振動の方程式ができます。

一応解きましたが、合っている保証はありませんし、まずは自分でがんばってください。
数学的に書いていますが、自明なのでカットできるところもあります(初期位相など)。

字が汚いとか言わないでね。びよびよーん。
「物理 ばねにつながれた二物体の運動」の回答画像2
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
悲しくも画像の解像度故文字が読めなかったのでもう一人の方をベストアンサーにさせていただきましたm(_ _)m
ありがとうございます!!

お礼日時:2015/05/14 23:14

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Qバネに繋がれた物体の二体運動に関してです。

バネに繋がれた物体の二体運動に関してなんですが、
たとえば、質量Mとmのふたつの物体があってバネ定数kのバネで繋がれているという状況を考えます。(バネの質量は無視して考えています。)

そして、このときなんですが、初速度を与えて運動させる場合に関してなんですが、バネなんで各質量M,mは振動的運動をしていくことは容易にわかります。

ここからが質問です。
たとえば、バネの自然長をLとしたときにバネの最大縮みがdとすると、このときの各物体の速度ってどのように考えたらいいのでしょうか?

たぶんですが、一番最初に初速度をあたえる。ということから、バネのつりあい(?)を崩して運動させるのみの力で非常に微小と考えて無視して運動量保存を考えればいいのかどうかと言うことに困っています。

どなたか詳しい方、知恵を貸してください。

Aベストアンサー

やはりまずは運動方程式を立てましょう.
時刻tにおける縮みをxとすれば解けると思います.
質量がMとmの運動方程式を立てることが出来れば,あとは難なく解けると思います.

#1さんの回答とあわせてお考え下さい.

Qばねに連結された2物体

物理の初歩的な質問です。教えてください。

右図のように天井に軽い糸で質量mの小球Aをつるし、これにばね定数kのばねを取り付け、他端に質量Mの小球Bを結ぶ。はじめAもBも静止している。重力加速度をgとして、次の設問に答えよ。
(1)ばねの伸びを求めよ。
(2)時刻t=0に糸を切る。その後のAの速度を時刻tの関数として式に表せ。
(1)はBのつりあいからd=Mg/kでいいと思います。
(2)なんですが、重心が加速度gで落下するので重心から運動をながめますよね?そうするとAのばね定数ka=(m+M)k/M、ω=√(m+M)k/mMでAの座標Xa=Asin(ωt+θ)で表せるはずなんですが、このときの振幅Aってどうやって求めるのでしょうか?あと、これを微分して重力による速度gtを足せば答えでいいでしょうか?

Aベストアンサー

重心は自由落下をします。したがって,重心から見た運動は無重力下の運動になりますね?
したがって,振動は自然長をつりあい状態として,振幅合計が初めのばねの伸びdになるはずです。

>これを微分して重力による速度gtを足せば…
下向きを正にとるとそういうことになりますね。

Qバネでつながれた二つの球

「質量がそれぞれm1、m2(m1>m2)の二つの球をバネ定数k、自然長aの軽いバネでつなぐ(これを系Sとする)。
系Sがx軸上で自然長を保ち静止しているとき、時刻t=0にm1に瞬間的に力積を加えて速度v0を与えた。」

というような問題で、(1)の問が

「t秒後のm1、m2の位置をx1(t)、x2(t)とするとき、m1、m2それぞれについて運動方程式を書け。」

という問なのですが、考え方が分からなくて困っています。
この後にも

「系Sの重心座標をX(t)、m1に対するm2の相対座標をx(t)として、運動方程式を書き換えよ。」



「系Sの振動の周期Tを求めよ。」

などの問もあるのですが、とにかく始めでつまずいてしまい困っています。
ヒント等でも構わないので、ご回答頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この問題は式は簡単なんですが考え方が難しいのです。
問題文のどこを見ても「~の大きさの力が加わって」とか「~の加速度で運動した」とかが書かれていないわけです。でも確かに運動をするはずです。バネでつながれているから振動しながら動いていくでしょう。
普通力学で出てくる式よりも簡単なんですが場面は難しいのです。これは私の印象です。
力は#1の回答にあるとおりです。
m2      m1(質量)
x2      x1(位置)
V2      V1(速度)
A2      A1(加速度)
○-----○  (----はバネです)
自然長a、バネ定数k、初速度v0
x1(0)-x2(0)=aです。
(右向きを正に取っています。)

運動方程式は
m1A1=-k(x1-x2-a)
m2A2=k(x1-x2-a)
力はバネが変形しているときに働きます。自然長よりも長くなっているときは物体1には左向きに、物体2には右向きに働きます。初速を右向きに与えているという場合ですからこの表現でいいと思います。これだけなんですが初めてだとけっこう考えるのが難しいです。特に符号が難しいです。(1を左に持ってくる方が逆旅区を与えたというのにうまく合っているように思いますが符号に注意がいります。やって見られるといいと思います。)

2つの式を足してみて下さい。
m1A1+m2A2=0
になります。左辺を(m1+m2)で割ると重心の加速度=0になります。重心は等速度で運動しているという結果になります。外力が働いていないのでこうなります。これは上の運動方程式のチェックになります。
重心の速度をVGとします。
VG=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)=m1v0/(m1+m2)
です。ここで初速度v0が出てきます。
物体は振動しながら運動しているはずですが重心の運動が等速度ですから重心に対して振動していると考えられます。そこで重心座標と相対座標に書き換えるという考えが出てきます。相対座標は2つの立場があります。重心に対する相対座標と1に対する2の相対座標とです。2体の場合はどちらでの表現も可能です。

上の式で
A=d^2x/dt^2=A1-A2
を求めると
A=-(1/m1+1/m2)k(x-a)=-k(x-a)/μ
です。μは1と2を合わせて考えるときの有効質量です。「換算質量」といいます。
1/μ=1/m1+1/m2
μ=m1m2/(m1+m2)
です。
質量の項を左辺に持っていくと
μA=-k(x-a)
これはx=aを中心とする単振動になります。
2つの物体の間でだけ力が働いている場合、重心座標と相対座標に変換すると2体問題が一体問題に変わります。人工衛星の運動は地球が止まっているとして考えてよいというのもこれの例です。水素原子の中での電子の運動も重心を止めて考えます。
座標形の書き換えについては力学の教科書に載っているはずです。バネでいきなり出てくるのではないはずです。

運動エネルギーの和の書き換えの質問がこのカテで過去に出ています。

この問題は式は簡単なんですが考え方が難しいのです。
問題文のどこを見ても「~の大きさの力が加わって」とか「~の加速度で運動した」とかが書かれていないわけです。でも確かに運動をするはずです。バネでつながれているから振動しながら動いていくでしょう。
普通力学で出てくる式よりも簡単なんですが場面は難しいのです。これは私の印象です。
力は#1の回答にあるとおりです。
m2      m1(質量)
x2      x1(位置)
V2      V1(速度)
A2      A1(加...続きを読む

Qバネの両端におもりが付いている問題

答えが付いていない問題だったので、わかりません・・・・


バネの両端に質量のmの小物体が付いていて床に置いています(下図)。

□~~~~~~~~~~~~~~~□

床は摩擦なく、自然長の状態です。

右側の物体にだけ初速度vを与えて、その後の運動を考える問題です。

1.左側の最大速度
2.ばねの最大の伸び

を求めるのですが、求め方がわかりません。


重心速度は一定と考える??
でも、重心速度をv0と置いていいのか?

ばねの伸びを考えるときに、エネルギー保存を使って、

1/2mv^2=1/2kx^2

x:最大の伸び

としていいのか?最大の伸びになっているときに小物体は動いていないのか?

それとも相対座標で解く?

左の物体からみた相対座標でとくとしても、加速しているので慣性力が働く。でも時間によって慣性力が変わる。方向も変わってしまう…


いろいろ考えているのですが、いまいち腑に落ちる考えが思いつきませんでした。

アドバイスor解答を教えていただけると助かります。


よろしくお願いします。

答えが付いていない問題だったので、わかりません・・・・


バネの両端に質量のmの小物体が付いていて床に置いています(下図)。

□~~~~~~~~~~~~~~~□

床は摩擦なく、自然長の状態です。

右側の物体にだけ初速度vを与えて、その後の運動を考える問題です。

1.左側の最大速度
2.ばねの最大の伸び

を求めるのですが、求め方がわかりません。


重心速度は一定と考える??
でも、重心速度をv0と置いていいのか?

ばねの伸びを考えるときに、エネルギー保存を使って、
...続きを読む

Aベストアンサー

補足させてください。

【buturikyouさん】
意図をくみとっていないかもしれませんが・・・
この運動は,左の物体を壁に固定してはじめに右の物体を
押してばねを縮めておいて,それからぱっとはなして,ばねが
自然長にもどった瞬間の時点をt=0とすれば実現できる運動です。
t=0に瞬間的に静止状態から初速度を与えると考える必要はない
と思います。的外れでしたらすみません。

【sanoriさん】
>よって、片方のおもりだけに注目すれば、
>最大の運動エネルギー = 1/2・m・(v/2)^2
>です。

>よって、
>1/2・kx^2 = 1/2・m・(v/2)^2

「片方のおもりだけに注目」する考えでいくと,ばね定数をk'=2kと
すべきと思われます。
1/2・2kx^2=1/2・m・(v/2)^2
∴ 2x=v・√(m/2k)
重心運動のエネルギー 1/4・mv^2 = 一定
相対運動のエネルギー 1/4・mv^2 = 1/2・k・(2x)^2
となっています。

Q2質点系とばねの問題

よくある問題なのですが式の立て方がわかりません

問題

バネ定数kのバネで結ばれた2つの質点1および2がある。
質点1および2の質量をMおよびmとする
位置をx1およびx2とする。
両質点にバネから力が作用しない際のバネの長さ(自然長)をδとする。
質点はバネの伸縮するx軸方向のみに運動するものと仮定する。

1​wwwwwwww​2
ーーーーー→x


(1)質点Aおよび質点Bの運動方程式を完成させよ
M・((d^2(x1))/(dt^2))=k(x2-x1-δ)・・(1)
m・((d^2(x2))/(dt^2))=-k(x2-x1-δ)・・(2)

とあるのですが、(1)の式の右辺の式は(2)の伸び(あるいは縮み)の量は入れなくてよいのでしょうか?それとも(1)の式で質点2は固定してたてた式と考えてよいのでしょうか?

Aベストアンサー

____OwwwwO
____x1_________x2____x
質点1の位置:x1
質点2の位置:x2
ばねの長さ:x2-x1
自然長からののび:x2-x1-δ
1が受ける力:k(x2-x1-δ)
2が受ける力:-k(x2-x1-δ)
何の問題もありません。何か勘違いしてないでしょうか?
1と2がばねから受ける力は大きさ等しく逆向きです。

Qバネでつながれた2つの質点

重さのないバネでつながれた2つの質点m1,m2が摩擦のない直線上にあります。
長さL、バネ定数kのバネで2つの質点をつないぎ、Xだけ引き延ばし、離したとき、
(1)質点の重心の運動
(2)周期T
を求めよ、という問題です。

(1)
重心の位置を求め、左右に張る張力が同じと考えて、左右の質点の運動方程式を立てれば良いのでしょうか?

(2)
周期は片方を固定端にして、2つの質点を合わせたものと同じと考えたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

質点m1,m2の質量をそれぞれm1、m2とし、原点からの距離をそれぞれx1,x2とします。各質点の運動方程式はx1<x2としてm1(d^2x1/dt^2)=k(x2-x1-L)、m2(d^2x2/dt^2)=-k(x2-x1-L)。両式を足すとd^2(m1x1+m2x2)/dt^2=0が得られます。系の重心座標をXgとするとXg=(m1x1+m2x2)/(m1+m2)=(m1x1+m2x2)/M。これからd^2Xg/dt^2=0。これがこの系の重心の運動方程式です。
また、d^2x1/dt^2=k(x2-x1-L)/m1、d^2x2/dt^2=-k(x2-x1-L)/m2であるからこれらの式を引くとd^2(x2-x1)/dt^2=d^2x/dt^2=-k(x-L)*(m1+m2)/m1m2=-k(x-L)/μ。整理するとμ*d^2x/dt^2=-k(x-L)でいわゆる単振動の運動方程式です。μ=m1m2/Mは換算質量と呼ばれますが、換算質量を使えば2質点系の運動方程式は1質点の運動方程式に還元できるということがポイントです。周期Tはご自分でフォローしてください。

質点m1,m2の質量をそれぞれm1、m2とし、原点からの距離をそれぞれx1,x2とします。各質点の運動方程式はx1<x2としてm1(d^2x1/dt^2)=k(x2-x1-L)、m2(d^2x2/dt^2)=-k(x2-x1-L)。両式を足すとd^2(m1x1+m2x2)/dt^2=0が得られます。系の重心座標をXgとするとXg=(m1x1+m2x2)/(m1+m2)=(m1x1+m2x2)/M。これからd^2Xg/dt^2=0。これがこの系の重心の運動方程式です。
また、d^2x1/dt^2=k(x2-x1-L)/m1、d^2x2/dt^2=-k(x2-x1-L)/m2であるからこれらの式を引くとd^2(x2-x1)/dt^2=d^2x/dt^2=-k(x-L)*(m1+m2)/m1m2=-k(x-L)/μ。整...続きを読む

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q物体にバネとダンパが付いているものの運動方程式を考えるとき,

物体にバネとダンパが付いているものの運動方程式を考えるとき,
バネとダンパが物体の右側についているときと,左側についているときとで,
運動方程式は変わってきますか?

Aベストアンサー

力F(質問者の記号では u )の符号が変わるだけです。

下の図を基準に取り、X軸方向だけの方程式とすると
運動方程式は

F = m*(d^2x)/(dt^2) + D*d(x1-x2)/dt + k(x1-x2)
x1 + x2 = x

ここに
x1 は質量mの変位、
x2 はバネとダンパーの変位、
D はダンパー係数、
k はバネ定数です。
バネとダンパーが壁に固定されている場合、x2=0, x1=x となり。
運動方程式は
F = m*(d^2x)/(dt^2) + D*dx/dt + kx
となります。

上の図では、力F が -F になります。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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