ラグランジアンで一般座標 qと一般速度 vが独立変数の関数と定義されていますが、
何故変分原理を使ったオイラーラグランジアンの式の導入の時に
0=∫((dL/dq)*dq+(dL/dv)*dv )dt
=∫((dL/dq)*dq-d/dt(dL/dv)*dq )dt
=∫((dL/dq)-d/dt(dL/dv))*dq )dt
とまるで微小変化dqとdvが独立ではなく、結果的にdvがdqで表せるようになってしまいました。
何故qとvは独立なはずなのに、微小変化は独立ではなくなってしまうのでしょうか?
両方とも独立ならば独立に変化するはずではないんでしょうか?
もっと言えば、ハミルトニアンでの一般座標qと一般運動量pは独立変数の関数と定義されていて、
変分原理の積分の中でもdqとdpは独立だと書いてますが、何故同じ量を表した関数(ルジャンドル変換しただけ)なのに一方はn個の独立 微小変化 があり、もう一方は2n個の独立 微小変化があるのでしょうか?
どなたか分かる方教えていただけると嬉しいです。
A 回答 (3件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.2
- 回答日時:
>qとvはラグランジアンという関数の独立変数であるが、
数学的に言えばラグランジアンが(q,vと表記される二つの実数を引数とする)二変数関数だ、という事しか言っていないように思いますのでこの部分は正しいです。
>それとは別に、qとvはdq/dt=vと言う所謂拘束条件より、
>結局ラグランジアンはqという一個の独立変数の関数と言うことになる
なりません。#1に書いたように指定した時刻における位置座標qを決めただけではその時刻における速度vが決まる訳ではありませんので、ラグランジアンはqのみ(またはvのみ)の一変数関数では表せません。
例えばニュートンの運動方程式を解くときに初期条件として初期位置と初速度を与えます。初期位置を与えるだけで同時に初速度も決まったりはしません。
q,q(t)という記号(v,v(t)も同様)を、(時刻tにおける)位置座標を表す【実数】の意味で用いたり、時刻tに対してその時刻における位置座標を対応させる【関数】の意味で用いたりしている事に注意して下しさい。独立なのは前者、独立ではないのは後者です。
>pはqとvの変数で表せるはずなので、qとpは独立ではないと思います。
I[q]あるいはI[q,p]と表される作用に「運動方程式の解」を代入した時が最少(極小)になるという所から、ラグランジュ方程式あるいは正準方程式が導出されますよね。逆に言うと、変分をした結果であるq+δq(とp+δp)というのは、運動方程式を満たしてはいないのです。#1に「v(t)=dq/dtという関係(中略)を導出するべき運動方程式に含めたものがハミルトン形式」と書きましたが、要はp,q,vの間の関係式を満たさないような変分も含めて考えている、という事を言っています。だからp,q,vの間に何らかの関係式があるという事はp,qの変分を独立に決められない理由にはなりません。
>ハミルトン形式では一旦v=dq/dtとか言うのを忘れて、と言うのは
>pとqが独立か独立であろうがなかろうが、”独立”に扱っても構わない、という事でしょうか。
そもそも運動方程式の解からp,qを独立に変化させた時に、作用の値がいつも大きくなるようにハミルトニアンを選んでいるんです。そのようなハミルトニアンがいつも存在するかどうかは自明ではないでしょうが、もしも見つかったとすればq,pの変分の値は独立に決めて問題ないわけです(問題ないような場合しか考えてないのですから)。
又回答して頂きありがとうございます。
>だからp,q,vの間に何らかの関係式があるという事はp,qの変分を独立に決められない理由にはなりません。
確かに何らかの関係があったとしても、独立に決められない理由にはなりませんが、
やはり
dL/dv=p、とした時点で
pはqとvの関数になるはずですから、もしqとvがtの関数として独立出ない場合、
やはりpもqと独立の関数ではない、と言えるのではないでしょうか。
むしろ、なんのポテンシャルも無い場合、
L=mv^2/2
ですから
dL/dv=p=mv
となり、
もしvがqと独立の関数で無い場合、
p(t)=mv(t)
ですから、p(t)とq(t)は確実に独立ではないはずです。
なので、独立の関数として良いと言うのはやはりまだ納得が行かないです。。
No.1
- 回答日時:
簡単のため自由度が1の場合を前提に書きますが、多自由度の場合も話は同じです。
ラグランジアンL(q,v)に含まれるq,vにどのような値を代入しようかと考えた時、例えば位置qにいる場合の速度がv_1である場合を考える事もv_2である場合も考える事ができます。そういう意味でqとvは独立となります。
ラグランジュ方程式はI[q]=∫dtL(q(t),v(t))が任意の変分で停留値を取るという条件から導出されるのですが、この積分を計算するには全ての時刻におけるq(t)の値(数学的に言えばt→q(t)という関数)が必要になります。そして全ての時刻におけるq(t)の値を決めてしまえばqの微分で定義されるv(t)も同時に決まる事になります。だからI[q,v]ではなくI[q]と表されるのだし、q(t)の変分δqとv(t)の変分δvは独立には決められないのです。
大雑把にいえば、v(t)=dq/dtという関係(に対応するもの)をいったん忘れてこの関係も導出するべき運動方程式に含めたものがハミルトン形式です。そういう取り扱いをする事に決める事でq(t)とp(t)(v(t)に対応するもの)の変分を独立に決める事ができるようになります。
回答ありがとうございます。
qとvはラグランジアンという関数の独立変数であるが、
それとは別に、qとvはdq/dt=vと言う所謂拘束条件より、
結局ラグランジアンはqという一個の独立変数の関数と言うことになる、という事でしょうか?
同じように考えてハミルトン形式では、同じようにqとpの独立変数がありますが、
dL/dv=p のルジャンドル変換から必然的にdH/dp=vと言うことが言えますから、
その拘束条件を追加すれば
変分原理により、∫(v-dH/dp)dp-(p+dH/dq)=0
の
v-dH/dpがdp、dqによらず0になる、と言うのは分かります。
つまりdpとdqをどのように変化させても最初の項はゼロになり、全体的の積分が0のため次の項もゼロになる、と言うのは分かります。
しかし、それはdpとdqが独立でもその式は成り立つ、という事であり、独立でなくても式はなりたつ、なのでdqとdpが本当に独立かは分かりません。
というか、pはqとvの変数で表せるはずなので、qとpは独立ではないと思います。
つまり、
ハミルトン形式では一旦v=dq/dtとか言うのを忘れて、と言うのは
pとqが独立か独立であろうがなかろうが、”独立”に扱っても構わない、という事でしょうか。
それとも本当に独立なのでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
- ・ゆるやかでぃべーと タイムマシンを破壊すべきか。
- ・歩いた自慢大会
- ・許せない心理テスト
- ・字面がカッコいい英単語
- ・これ何て呼びますか Part2
- ・人生で一番思い出に残ってる靴
- ・ゆるやかでぃべーと すべての高校生はアルバイトをするべきだ。
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・単二電池
- ・チョコミントアイス
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
d^2r/dt^2の意味
-
なぜ力積を時間に関して積分す...
-
運動方程式の成分表示
-
電流の時間微分、電圧の時間微分
-
Debug.Printで表示される内容を...
-
v^2-v0^2=2ax 今日この式を習っ...
-
①運動量ベクトルをpとしてニュ...
-
運動方程式と積分
-
非マルコフ過程をマルコフ過程...
-
電磁気学 インダクタンスに関...
-
物理
-
Noyes-Whitneyの式のdC/dtについて
-
高校物理、位置、速度、加速度...
-
質量流量の記号「・ の読み方を...
-
物理学 おそらく剛体の問題です
-
ラグランジアンLが L=exp(√mx')...
-
EXCEL上の数字を自動で振り分け...
-
万有引力を受けて運動する質点...
-
加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /dt^2
-
この関数て
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
d^2r/dt^2の意味
-
電流の時間微分、電圧の時間微分
-
この関数て
-
オイラーの運動方程式の導出に...
-
v^2-v0^2=2ax 今日この式を習っ...
-
質量流量の記号「・ の読み方を...
-
非マルコフ過程をマルコフ過程...
-
Debug.Printで表示される内容を...
-
EXCEL上の数字を自動で振り分け...
-
物理の計算で m×dv/dt×v=d/dt{...
-
d/dx=dt/dx * d/dt =d/dt * dt/...
-
機械力学の問題です!!!
-
最後のdv/dtは何でしょうか。
-
ポテンシャルエネルギーから力...
-
雨滴の運動質量が変化する落体...
-
運動量をtで微分すると力になる...
-
加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /dt^2
-
高校物理 授業でこういうのをや...
-
運動方程式を求めてください
-
力学の問題を教えてください
おすすめ情報