とある効用関数です。

ある消費者の効用関数がu(x,y)=x^2yで与えられている。
(a)この消費者の所得をm,x財の価格をp,ｙ財の価格をｑとするとき、ⅹ財、ｙ財の需要関数を求めよ。
(b)今、税率ｔの所得税が課せられるとすると、(a)で求めた需要関数の形状はどのように変化するか。
(c)同様にｘ財に税率ｓの消費税が課せられた時の需要関数を求めよ。

回答、解説ができる方がいましたらよろしくお願いします。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2015/07/23 18:59

女性ではありませんが、よろしいでしょうか？

(a) max u(x,y) = (x^2)y 　s.t.　 px + qy =m
という問題を解けばよい。最大化の１階の条件は
MRS = p/q　　(*)
つまり、X財とY財の限界代替率MRSがX財とY財の価格比に等しい、という条件だ。ここで、MRS = ∂u/∂x/∂u/∂ｙ =2xy/x^2 = 2y/xで与えられる。よってこれを(*)へ代入すると
2y/x = p/q ⇒ y =(1/2)px/q
を得る。これを予算制約px + qy = mへ導入し、整理すると
x = m/[p{1+ 1/(2q)}]
となる（以上を確かめよ）。これが、この消費者のX財に対する需要関数だ。
(b)税率ｔの所得税が課されると、可処分所得はm(1-t)となる。求めた需要関数のmの部分をm(1-t)で置き換えればよい。すなわち、
x = m(1-t)/[p{1+ 1/(2q)}]
となる。
(a)、(b)を見れば、X財へのこの消費者の需要は所得mが増えれば増え、この財の価格pが上がれば、減少し、他財（Y財）の価格が上がれば減ることがわかる。
(c)　消費税率ｓが課せられると、需要関数はどうなるか？答えは、「変わらない！」驚いた？需要関数というのは、消費者の直面している、財の価格（買い手である消費者が支払う価格）と財の需要量の関係を表わすもの。消費税が掛かっても、この関係に変化はないからだ。ただし、価格ｐはいまや消費税込の価格（買い手が支払う価格）を表していると解釈する必要がある。では、消費税が課されても、消費者が支払う価格に変化はないのだろうか？そんなことはない！消費税が導入されると、第１に、売り手である受け取る価格と買い手である消費者が支払う価格との間にギャプが生じる。前者をPBで表わし、後者をPSで表わすなら、
PB = (1+s)PS
となる。（消費税がなければ、s=0なので、PB=PSであり、買い手が支払った価格はそのまま売り手の懐にはいるが、消費税のもとではsPSの部分は国庫にはいるので、買い手が支払う価格と売り手の受け取る価格の間にギャップが生じるのだ。）
第２には、消費税前の価格がｐであるとき、消費税後の、買い手＝消費者が直面する価格は(1+s)pとなるのではないことだ！！！！！消費税の導入によって売り手＝生産者の受け取り価格が変わらなければ（たとえば、供給関数が無限に価格弾力的であるなら）、たしかにｐが変化しないのだから、買い手が支払う価格は(1+s)pへ消費税率だけ上昇するが、それは供給条件がいかんによるのであって、一般的には何もいえない。したがって、私の回答も、需要関数のｐをPBと解釈し直すことによって
ｘ＝m/[p{1+1/(2q)}]
と変わらないとしか言えない。あるいは、どうしても1+sを入れたければ、
x = m/[(1+s)PS{1+1/(2q)}]
と書くしかない。PSと消費税導入前のｐとの関係は？と問われるなら、何もいえないのだ。

あなたの一連の「とある効用関数」シリーズの質問で、価格は(1+s)pになるかのように回答している答案を見たが、正しくないので注意が必要だ！