カイ２乗分布について

カイ２乗の説明で、偏差平方和を母分散で割った統計量であり、その統計量は自由度φのカイ２乗分布に従うとあります。
　私の浅はかな知識ですと、
・偏差平方和＝偏差の２乗の合計
・母分散＝偏差平方和を標本数で割ったもの
であります。
　つまり、斯様な浅はかな知識で考えてしまうと、カイ２乗が偏差平方和を母分散で割ったものであるのなら、単純にそれは標本数にすぎないではないのかとなってしまうのです。
　考え方のどこかに間違いがあると思うのですが、その指摘と正しい解釈の仕方をご教示ください。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/16 12:26

No.1です。

少し補足します。

＞カイ２乗の説明で、偏差平方和を母分散で割った統計量であり
＞・偏差平方和＝偏差の２乗の合計
＞・母分散＝偏差平方和を標本数で割ったもの
＞であります。

＞カイ２乗が偏差平方和を母分散で割ったものであるのなら、単純にそれは標本数にすぎないではないのかとなってしまうのです。

偏差平方和＝ Σ[( xi - μ )^2]
分散　　　= Σ[( xi - μ )^2] / n

なので、偏差平方和/分散 = n ではないか、というのがご質問の趣旨ですね？

まあ、言ってしまえば確かにそういうことです。
だからこそ、「母集団のカイ二乗値」も、「標本のカイ二乗値」も、標本数が同じなら同じはずだ（同じ分布をするはずだ）、というところから出発しているのでしょう。この共通の「標本数」が、「n - 1」の「自由度」として使用されます。

実際に、「平均値＝0、分散=1 に標準化した正規分布」の母集団から任意に取り出した標本のカイ二乗値の確率分布（これが表になっている）と、実施の標本のカイ二乗値を使って、「標本分散」から「母分散」を推定する、というのがこの分布の使い方ですから。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/14 15:26

計算式が、「母平均」「母分散」を使っているのか、母集団から取り出した「標本数」「標本値」「標本平均」「標本分散」を使っているのかを明確に区別しないと、意味のない議論をすることになります。

一般に、カイ2乗分布は、標本の「平均」「分散」から、母集団の分散の信頼区間を推定するのに使われます。つまり、「母分散」は「未知数」であって、カイ2乗の分布の値から求めるのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/14 22:14