高校物理 静電気力がする仕事は経路によらないのは何故か

画像のように点電荷Qの影響が及ぶ場で、点電荷qに外力を加え、静かに移動させます。このときその経路によらず
外力がする仕事＝（後の位置エネルギー）―（前の位置エネルギー）
静電気力がする仕事＝（前の位置エネルギー）―（後の位置エネルギー）
となると教科書に書いてありますが、理由は書いてありません。これは積分を使って証明できるでしょうか？恐らく線積分（高校で習っていません）というやつを使うことは調べてわかったのですが、具体的な証明をしているサイトが見つかりませんでした。

保存力は終点と始点の位置だけで仕事が決まり、静電気力も保存力の一つである、ということはわかりますが、重力のように力が一定でない場での話ですので、そういわれてもちょっと納得できません。

以下の位置エネルギーの定義がありました。
http://hooktail.sub.jp/mechanics/potential-grad/
dr=r-r0(位置ベクトルの差)、ーFは保存力に逆らう力と考え、経路に沿って積分すると位置エネルギーが蓄えられるということだと思うのですが、U(r)-U(r0)と線積分なのに定積分みたいな計算をしています。
以下のサイトの10ページ目を見ていただけますでしょうか。
http://www.rist.kindai.ac.jp/~kiguchi/h15/buturi …

線積分は定積分の計算方法とは違うみたいな記述がありますので、ちょっとおかしいかなと思っております。経路を考えなくても何故終点と始点の位置エネルギーの差で記述しているのか、そこがわからないところです。

高校物理の内容を超えた質問ですが、興味がありどうしても納得したいのでよろしくお願いいたします。（一応高校で習う微積はすべて理解しているつもりです。）

No.3 回答者： puyo3155 回答日時： 2015/11/28 15:19

#1　です。

回答にかぶせるまえに、回答を実施してみてはどうでしょう。

可積分条件云々に結論づけてしまうなら、もとの質問の意味がありません。
興味があるなら、別の質問をたててください。

その際、自分が何を、どこまでわかっており、聞きたいことはなんなのかをきちんと書くことをおすすめします。
それをクローズドクエスチョンと言います。　オープンクエスチョンをするなら、Wikipedia等で、自分で調べてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/11/28 14:10

う~ん、基本的に高校の数学ではまるで足りないのですが

理系の大学で学習する 「ベクトル解析」という
数学があり、
ストークスの定理から、線積分の値が経路によらないような
ベクトル場が有ることがわかるのです。
#「渦」のない場はこの様な性質があります。

そこまで学習すれば簡単な話なのですが

高校数学まで判っているなら、まず

・多変教関数の微積分

を充分学習し、微積の多変数への拡張を学んでから

・べクトル解析

でベクトル場、スカラー場の性質と扱い方を学ぶのが
よいでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。質問内容が伝わりにくかったようで、再度数学のカテで質問させてもらいます。今回は積分と経路について質問で、ポテンシャルの質問ではありません。失礼いたしました。

お礼日時：2015/11/28 21:53

No.1 回答者： puyo3155 回答日時： 2015/11/28 12:59

うーん、添付の

http://hooktail.sub.jp/mechanics/potential-grad/

が理解できないなら、それ以上専門的な説明をしても無意味じゃないですか？

仕事とは、エネルギーの１つ。　ポテンシャルもエネルギーの１つ。エネルギー保存の法則を考えれば、

加えたエネルギー　＝　ポテンシャルエネルギーの差

ってことです。　経路積分云々の前に、a と b の位置が十分近いとして、実際に値を計算してみてはどうですか。
積分は、それを合計しているだけのことなので、本質ではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。大まかでかまいません。可積分条件というのが、始点と終点の位置だけで仕事が決まる条件だそうですけど、その条件が何なのかがわかれば当方の疑問が解決できるのではと思います。可積分条件って簡単にいうとどういうことなんでしょうか。

お礼日時：2015/11/28 13:39