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画像のように点電荷Qの影響が及ぶ場で、点電荷qに外力を加え、静かに移動させます。このときその経路によらず
外力がする仕事=(後の位置エネルギー)―(前の位置エネルギー)
静電気力がする仕事=(前の位置エネルギー)―(後の位置エネルギー)
となると教科書に書いてありますが、理由は書いてありません。これは積分を使って証明できるでしょうか?恐らく線積分(高校で習っていません)というやつを使うことは調べてわかったのですが、具体的な証明をしているサイトが見つかりませんでした。

保存力は終点と始点の位置だけで仕事が決まり、静電気力も保存力の一つである、ということはわかりますが、重力のように力が一定でない場での話ですので、そういわれてもちょっと納得できません。

以下の位置エネルギーの定義がありました。
http://hooktail.sub.jp/mechanics/potential-grad/
dr=r-r0(位置ベクトルの差)、ーFは保存力に逆らう力と考え、経路に沿って積分すると位置エネルギーが蓄えられるということだと思うのですが、U(r)-U(r0)と線積分なのに定積分みたいな計算をしています。
以下のサイトの10ページ目を見ていただけますでしょうか。
http://www.rist.kindai.ac.jp/~kiguchi/h15/buturi …

線積分は定積分の計算方法とは違うみたいな記述がありますので、ちょっとおかしいかなと思っております。経路を考えなくても何故終点と始点の位置エネルギーの差で記述しているのか、そこがわからないところです。

高校物理の内容を超えた質問ですが、興味がありどうしても納得したいのでよろしくお願いいたします。(一応高校で習う微積はすべて理解しているつもりです。)

「高校物理 静電気力がする仕事は経路によら」の質問画像

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A 回答 (3件)

う~ん、基本的に高校の数学ではまるで足りないのですが


理系の大学で学習する 「ベクトル解析」という
数学があり、
ストークスの定理から、線積分の値が経路によらないような
ベクトル場が有ることがわかるのです。
#「渦」のない場はこの様な性質があります。

そこまで学習すれば簡単な話なのですが

高校数学まで判っているなら、まず

・多変教関数の微積分

を充分学習し、微積の多変数への拡張を学んでから

・べクトル解析

でベクトル場、スカラー場の性質と扱い方を学ぶのが
よいでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。質問内容が伝わりにくかったようで、再度数学のカテで質問させてもらいます。今回は積分と経路について質問で、ポテンシャルの質問ではありません。失礼いたしました。

お礼日時:2015/11/28 21:53

#1 です。

回答にかぶせるまえに、回答を実施してみてはどうでしょう。

可積分条件云々に結論づけてしまうなら、もとの質問の意味がありません。
興味があるなら、別の質問をたててください。

その際、自分が何を、どこまでわかっており、聞きたいことはなんなのかをきちんと書くことをおすすめします。
それをクローズドクエスチョンと言います。 オープンクエスチョンをするなら、Wikipedia等で、自分で調べてください。
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うーん、添付の



http://hooktail.sub.jp/mechanics/potential-grad/

が理解できないなら、それ以上専門的な説明をしても無意味じゃないですか?

仕事とは、エネルギーの1つ。 ポテンシャルもエネルギーの1つ。エネルギー保存の法則を考えれば、

加えたエネルギー = ポテンシャルエネルギーの差

ってことです。 経路積分云々の前に、a と b の位置が十分近いとして、実際に値を計算してみてはどうですか。
積分は、それを合計しているだけのことなので、本質ではありません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。大まかでかまいません。可積分条件というのが、始点と終点の位置だけで仕事が決まる条件だそうですけど、その条件が何なのかがわかれば当方の疑問が解決できるのではと思います。可積分条件って簡単にいうとどういうことなんでしょうか。

お礼日時:2015/11/28 13:39

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Q静電気力がする仕事

真空中で、下図のようにx軸、y軸をとり、原点Oに電気量Q[C](Q>0)の点電荷を固定する。点A, B, Cはx軸上の点、点Dはy軸上の点であり、r[m]は点Aのx座標である。クーロンの法則の比例定数をk[N•m^2/C^2] とし、重力の影響を無視する。

点Dから点Bまで、電気量q[C](q>0), 質量m[kg]の点電荷Pをゆっくりと移動させるとき、静電気力がする仕事と、外力がする仕事を求めよ。

外力のする仕事は、q(kQ/2r-kQ/r)=-kqQ/2rで、ゆっくり動かすのだから、静電気力と外力は釣り合っていて、(静電気力のする仕事)=-(外力がする仕事)=kqQ/2r となるのはわかります。

静電気力のした仕事を ∫ F dx の形から求めるやり方を考えてみました。↓

OP=aとすると、Qがqに及ぼすクーロン力は kQq/a^2と表され、直線DBのD→Bの向きとOPのなす角をθ, DP=xとすると、静電気力がする仕事は、
∫[0→√5r] (kQq/a^2)cosθ dx
と表される。
△DPOに余弦定理を用いると、
a^2=r^2+x^2-2rxcos(角DPO)
=r^2+x^2-2rx/√5
同様に、
cosθ=(x^2+a^2-r^2)/2ax
∴ ∫[0→√5r] (kQq/a^2)cosθ dx
=∫[0→√5r] {kQq/(r^2+x^2-2rx/√5)}*{(2x^2-2rx/√5)/2x√(r^2+x^2-2rx/√5)} dx


この複雑な積分を計算したら kqQ/2rになるんでしょうか?
自分のやり方が間違っていますか?

真空中で、下図のようにx軸、y軸をとり、原点Oに電気量Q[C](Q>0)の点電荷を固定する。点A, B, Cはx軸上の点、点Dはy軸上の点であり、r[m]は点Aのx座標である。クーロンの法則の比例定数をk[N•m^2/C^2] とし、重力の影響を無視する。

点Dから点Bまで、電気量q[C](q>0), 質量m[kg]の点電荷Pをゆっくりと移動させるとき、静電気力がする仕事と、外力がする仕事を求めよ。

外力のする仕事は、q(kQ/2r-kQ/r)=-kqQ/2rで、ゆっくり動かすのだから、静電気力と外力は釣り合っていて、(静電気力のする仕事)=-(外力がす...続きを読む

Aベストアンサー

>=∫[0→√5r] {kQq/(r^2+x^2-2rx/√5)}*{(2x^2-2rx/√5)/2x√(r^2+x^2-2rx/√5)} dx

見通しをよくするために再び

a = √[ r^2+x^2-2rx/√5 ]

で書き直すとつまるところこの被積分関数f(x)は

f(x) = kQq (x-r/√5) / a^3

a^2を平方完成させると

a^2 = x^2-2rx/√5 +(r/√5)^2 - (r/√5)^2 + r^2
= (x-r/√5)^2 + (4/5)r^2

簡単にするため b^2 = (4/5)r^2 とおき、x-r/√5 = b tanθと変数変換すると

a^2 = (x-r/√5)^2 + (4/5)r^2 = b^2 ( 1 + tan^2θ ) = b^2/cos^2θ
dx = b dθ/cos^2θ

なので

f(x) = kQq b tanθ(cos^3 θ/b^3) b dθ/cos^2θ
= (kQq/b) sinθdθ = - (kQq/r)(√5/2) d(cosθ)

後はやっていませんが、ここから変数変換に伴う積分の上限・下限の変更を適切にして積分を行えば答えに行きつくのではないでしょうか?

>=∫[0→√5r] {kQq/(r^2+x^2-2rx/√5)}*{(2x^2-2rx/√5)/2x√(r^2+x^2-2rx/√5)} dx

見通しをよくするために再び

a = √[ r^2+x^2-2rx/√5 ]

で書き直すとつまるところこの被積分関数f(x)は

f(x) = kQq (x-r/√5) / a^3

a^2を平方完成させると

a^2 = x^2-2rx/√5 +(r/√5)^2 - (r/√5)^2 + r^2
= (x-r/√5)^2 + (4/5)r^2

簡単にするため b^2 = (4/5)r^2 とおき、x-r/√5 = b tanθと変数変換すると

a^2 = (x-r/√5)^2 + (4/5)r^2 = b^2 ( 1 + tan^2θ ) = b^2/cos^2θ
dx = b dθ/cos^2θ

なので

f(x) = kQq b tanθ(cos^3 ...続きを読む

Q電位差(電圧)とアースについて

こんにちは。高校物理1に関する質問です。

 アースがしてある電位差が5Vの電気回路についての記述の中で、「電池の電圧はあくまでも電位差であって、電位そのものではない。だから、1Vと6Vの差かもしれないし10Vと15Vの差かもしれない。…回路で電位を求めるときはアースが描かれており、アースは電位の基準(電位0V)を表す。…(マイナス側)の電位が0V、(プラス側)の電位が5Vということになる。」という表示がありました。

 質問:例えば、アースしていない場合、マイナス側の電位が1V、プラス側の電位が6Vであったとして、なぜ、アースすることによって、1V→0V、6V→5Vに変化するのでしょうか?

 アースすることの意味がいまひとつわかりません。解説をお願いいたします。

Aベストアンサー

[わざわざ大地にアースをとり、基準となる0Vを規定する必要はないのではないでしょうか?]
との疑問は良くわかります。
そこは問題のための問題ですね。
実際は、乾電池で働く程度の機器は、持ち運ぶこともあり、
地面(大地)にはアース=接地しません。電気のエネルギーが
小さい(電圧が低い)ため感電の危険が少ないので、接地してありません。
しかし、100Vなどになると、機器の故障などで、
感電の危険があり、人体を保護するために接地が必要です。
大地を基準にするというより、安全のために接地すると考えたほうが
理解しやすいと思います。接地すれば必ずゼロボルトになっていますので
このラインは感電の危険がありません。
もうひとつは、電圧が低くても、別の機器や装置と信号の授受を
するときに、基準となる電位がないと、電圧信号を授受出来ません。
どちらが高いか低いかを決めないと、信号を送れません。
ちょうど水を流すような感じです。こちらが欲しいときは、
こちらが低いと決めなければ、流れてきません。
よって相対的にではなく基準を決める必要があるのです。

[わざわざ大地にアースをとり、基準となる0Vを規定する必要はないのではないでしょうか?]
との疑問は良くわかります。
そこは問題のための問題ですね。
実際は、乾電池で働く程度の機器は、持ち運ぶこともあり、
地面(大地)にはアース=接地しません。電気のエネルギーが
小さい(電圧が低い)ため感電の危険が少ないので、接地してありません。
しかし、100Vなどになると、機器の故障などで、
感電の危険があり、人体を保護するために接地が必要です。
大地を基準にするというより、安全のために...続きを読む

Q重力のした仕事と位置エネルギーの関係

次のケース1について、お伺いします。
基本的な内容なのですが、困惑しております。どうかヒントを下さい。

(ケース1)
地表(高さ0m)にある物体(質量 m)を高さhまでもっていきます。
すると、物体はmghの位置エネルギーをもちます。
ところでこの位置エネルギーは、重力(-mg)のする仕事と関係があるかと思います。
しかし重力のする仕事は、-mghと負の値です。

重力のするこの負の仕事と位置エネルギーをどう結びつけて考えるのかが分かっておりません。

また、物体を高さhに持っていくには、重力に逆らう上向きの力が必要で、重力と大きさが同じで
向きが異なる力F (= mg)という力でhまでもって行ったとします。

Fのした仕事は、mghで正ですが、すると物体は正味でゼロの仕事(Fのした仕事+重力のした仕事 = 0)
を受けたことになり、地表にあったときとエネルギー状態が変わらないことになってしまいます。
しかし実際は、位置エネルギーmghをもっているはずです。


たとえば、
(ケース2)として、最初物体が高さhにあったとし、地表に落ちていき、地表に着く直前の速さを求める、という
場合は、
1/2mv^2 = mgh
と求められますが、右辺は位置エネルギーとも見えますが、重力のした仕事で、
重力のした仕事が運動エネルギーに変わったとなり、とても分かり易く納得がいきます。


ケース1をよく説明する方法を教えて頂きたく、どうか宜しくお願い致します。

次のケース1について、お伺いします。
基本的な内容なのですが、困惑しております。どうかヒントを下さい。

(ケース1)
地表(高さ0m)にある物体(質量 m)を高さhまでもっていきます。
すると、物体はmghの位置エネルギーをもちます。
ところでこの位置エネルギーは、重力(-mg)のする仕事と関係があるかと思います。
しかし重力のする仕事は、-mghと負の値です。

重力のするこの負の仕事と位置エネルギーをどう結びつけて考えるのかが分かっておりません。

また、物体を高さhに持っていくには、重力に逆ら...続きを読む

Aベストアンサー

まず位置エネルギーの前に,その基礎となるエネルギー原理を理解されるとすっきりすると思います。

エネルギー原理
--------------------------------
運動エネルギーの変化=された仕事
--------------------------------
Δ(1/2・mv^2) = W
or
1/2・mv^2 - 1/2・mv0^2 = W

物体を高さhまでもちあげるとき,
手力がした仕事:F×h = mgh
重力がした仕事:-mg×h = -mgh
された仕事の合計:W = 0

エネルギー原理によって,運動エネルギーの変化がゼロ,ということになります。ちゃんとつじつまが合っていますね?

0 = F・h + (-mgh)

そこで(-mgh)を移項して左辺に持ってきます。

0 + mgh = F・h

左辺は力学的エネルギーの変化分を表しています。これを拡張された「エネルギー原理」と呼ぶことにしましょう。

拡張されたエネルギー原理
----------------------------------------------------------------------
力学的エネルギーの変化=保存力(上の例では重力)以外の力によってされた仕事
----------------------------------------------------------------------
右辺がゼロの場合,これは力学的エネルギー保存の法則になります。

つまり,位置エネルギーとは

(1)物体を基準点からその点まで移動したときに,重力からされる仕事の符号を変えたもの
または,
(2)物体をその点から基準点にもどすときに,重力からされる仕事
と定義されるわけです。

したがって,位置エネルギーを考えに入れるならば「重力による仕事」はもはや忘れて下さい。符号が異なるだけで同じものなので,両方を一緒に考えることはできないのです。

まず位置エネルギーの前に,その基礎となるエネルギー原理を理解されるとすっきりすると思います。

エネルギー原理
--------------------------------
運動エネルギーの変化=された仕事
--------------------------------
Δ(1/2・mv^2) = W
or
1/2・mv^2 - 1/2・mv0^2 = W

物体を高さhまでもちあげるとき,
手力がした仕事:F×h = mgh
重力がした仕事:-mg×h = -mgh
された仕事の合計:W = 0

エネルギー原理によって,運動エネルギーの変化がゼロ,ということになります。ちゃんとつじつまが合っていますね?
...続きを読む

Q静電気力と外力の仕事について

+Qの点電荷をA点に、-Qの点電荷をB点に固定する。AB間の距離は2l(m)であり、ABの中点をOとしO点からL(m)離れたABの垂直二等分線上の点をCとする。クーロンの法則の比例定数をkとし、無限遠0(V)とする。

C点での電場は+Qによる電場をE_1とし、∠CAO=θとすると、E_c=(E_1cosθ)*2= {kQ/(l^2+L^2)}*{l/(√l^2+L^2)}*2= 2kQl/{(l^2+L^2)^(3/2)} となる。

一方M点の電位V_mはkQ/{(3/2)*l}+k(-Q)/{(1/2)*l} = -(4kQ/3l) [V] 
O点の電位V_oは (kQ/l)+{ k(-Q)/l} = 0 [V]となる。

次に-q(C)の電荷をもつ質量mの小球PをC点におき、ABに平行に一様な電場をかける。するとPに働く静電気力は、一様な電場をかける前に比べ向きが逆転し、大きさが半分となった。
これより一様な電場Eの向きは左向きで、合成電場の大きさはE-E_cで、静電気力の大きさが(1/2)になった事よりq(E-E_c)=(1/2)*qE_c
電場Eの大きさはE= (3kQl)/{(l^2+L^2)^(3/2)} となる。

•問題1 M点でPを静かに放すと、Pは左へ動き出し、やがてO点に達して一瞬静止した。このことからLをlで表せ。

指針: 一様な電場による静電気力qEを外力として扱う。この力は左向きだから仕事は負となる。力学的エネルギーが変化するため、-qE*(l/2)={0+(-q)*0}-{0+(-q)*V_m}の関係式を用いて解く。

ここで質問ですが、まず教科書に外力のする仕事=マイナス(静電気力のする仕事)と書かれていますが、これはどういう意味でしょうか? この問題では『静電気力を外力として扱う』とあり、静電気力=外力のはずですが、『外力のする仕事=マイナス(静電気力のする仕事)』という公式を見ると、外力と静電気力は別物なのかと思ってしまい、しまいには何が何なのか全く分からなくなってしまいました。仕事の符号の意味から詳しく教えてください。

もう一つ質問ですが、この問題で静電気力qEを外力として扱うとありますが、このqEのEは後からかけた一様電場のEとなっていますが、なぜこのEは合成電場E-E_cではない、つまり静電気力はq(E-E_c)ではないのでしょうか? E_cは別の場所にカウントされているのでしょうか?

長くなりましたが詳しい方教えてください。
お願いしますm(_ _)m

+Qの点電荷をA点に、-Qの点電荷をB点に固定する。AB間の距離は2l(m)であり、ABの中点をOとしO点からL(m)離れたABの垂直二等分線上の点をCとする。クーロンの法則の比例定数をkとし、無限遠0(V)とする。

C点での電場は+Qによる電場をE_1とし、∠CAO=θとすると、E_c=(E_1cosθ)*2= {kQ/(l^2+L^2)}*{l/(√l^2+L^2)}*2= 2kQl/{(l^2+L^2)^(3/2)} となる。

一方M点の電位V_mはkQ/{(3/2)*l}+k(-Q)/{(1/2)*l} = -(4kQ/3l) [V] 
O点の電位V_oは (kQ/l)+{ k(-Q)/l} = 0 [V]となる。

次に-q(C)の電荷をもつ質量mの小球PをC点...続きを読む

Aベストアンサー

まず、文脈からするとMはOBの中点ですね?

指針は、一様電場 E を特別扱いしてそれによる静電気力 -qE を外力としてあつかい、AおよびBにある電荷のみによる静電気力 -qE_c を系の内力としてみなそうといっているのです。つまり位置エネルギーとしてはE_cによるものだけを考え、Eの分はそれにさからって引いた仕事とみなそうというわけですね。一様電場 E による位置エネルギーを考えても実は同じことなのですが、改めて E による電位の考察をするのを省いたということでしょう。

したがって、
外力のする仕事=マイナス(静電気力のする仕事)
の右辺は一様電場のみによる仕事で、右辺はA,Bにある電荷による位置エネルギーの増加分をさしています。つまり、拡張されたエネルギー原理

外力による仕事=力学的エネルギーの変化

に合うように立式したのです。E による力を持ち上げる力(方向的には持ち下げる力)、E_cによる力を重力に置き換えて考えてみてください。指針にしたがわずに、一様電場による位置エネルギーも考えるなら、左辺が右辺に移項されるだけの話ですね。初めと終わりの運動エネルギーがゼロである点がポイントです。

まず、文脈からするとMはOBの中点ですね?

指針は、一様電場 E を特別扱いしてそれによる静電気力 -qE を外力としてあつかい、AおよびBにある電荷のみによる静電気力 -qE_c を系の内力としてみなそうといっているのです。つまり位置エネルギーとしてはE_cによるものだけを考え、Eの分はそれにさからって引いた仕事とみなそうというわけですね。一様電場 E による位置エネルギーを考えても実は同じことなのですが、改めて E による電位の考察をするのを省いたということでしょう。

したがって、
外力のする仕事=...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q正電荷は移動しないのか?

高校の物理のコンデンサーのところを勉強しているのですが、『電荷が移動する』と言うときは、導体中の自由電子(負電荷)が移動するのですよね?正電荷が移動することはないのですか?また、関連する問題なのですが、『孤立した導体にたまっている電荷は保存される』とは、どういうことなのですか、原理を教えていただけたら幸いです。

Aベストアンサー

負電荷は電子か電子が過剰となった負イオン(分子・原子)、正電荷は電子が欠乏した陽イオン(分子・原子)です。ふつうの世界では正の単独の粒子はありません。

金属などの固体は格子などの結合によって分子・原子はがっちり固定されて微少振動以外、移動できません。この場合、移動する実体は電子だけです。

液体や気体は元もと分子・原子が自由?に移動しています。したがってこれらの中では正負のイオン(分子・原子)や電子が自由に移動できますので正電荷が移動する場合もあります。

例えば、電池の中やメッキ液、低圧放電の場合などです。

Qギリシャ文字の書き方

私はギリシャ文字(特にδ、ζ、ξ)を書くのがとても苦手です。しかしながら、レポートを書くときには多用しますし・・・。レポートを見た教官様が私のへたくそな筆跡を見て嘲笑されるさまが目に浮かびます(泣)

ギリシャ文字を書くときのコツをお教え願いませんでしょうか。
是非よろしくお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

物理屋の siegmund です.

化学に限らず,理工系ではギリシア文字はよく出てきますね.
例えば,
http://homepage1.nifty.com/suzuri/gg/ggk001.html#111
に書き順が出ています.
ありゃ~,私の書き順は上のページと違っているのがいくつかある(^^;).
まあ,いいや,要はちゃんとわかればいいんだから.

No.1 さんの言われるように,はじめは下手なのは仕方がないでしょう.

> レポートを見た教官様が私のへたくそな筆跡を見て
> 嘲笑されるさまが目に浮かびます(泣)

嘲笑はしないと思いますが....(^^).
大事なのは,はっきりわかるように書くことです.
σとδ,ζとξ,μとν,などがが同じように見えるのでは困ります.
φとψを混同する学生さんも時々います.
あとは,英字との区別,
ρとp,αとa,ηとn,γとr,κとk,
などはっきり区別できるように書くことも大事です.

こういうことはギリシア文字に限らないことで,
uとvが同じように見えるのも困りますよね.

物理屋の siegmund です.

化学に限らず,理工系ではギリシア文字はよく出てきますね.
例えば,
http://homepage1.nifty.com/suzuri/gg/ggk001.html#111
に書き順が出ています.
ありゃ~,私の書き順は上のページと違っているのがいくつかある(^^;).
まあ,いいや,要はちゃんとわかればいいんだから.

No.1 さんの言われるように,はじめは下手なのは仕方がないでしょう.

> レポートを見た教官様が私のへたくそな筆跡を見て
> 嘲笑されるさまが目に浮かびます(泣)

嘲笑はしないと思いま...続きを読む

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Qなぜフッ化水素は沸点が高いのですか?

一般的に、ある族の原子と水素が結合した分子は、分子量が大きくなるにつれて、沸点が高くなりますよね?
では何故フッ化水素は塩化水素より分子量が小さいのに沸点が高いのでしょうか?
水素結合が関係あるのでしょうか?(でもHClも水素結合を持っていますよね…)

Aベストアンサー

電気陰性度の大きい原子と結合している水素では、正の部分電荷が生じます。
とくに、フッ素は電気陰性度が最大の元素ですので、水素原子上の正電荷が大きくなります。
それと同時にフッ素原子上には負電荷が生じます。

一般に大きな正電荷をもつ水素原子は、負電荷をもつ部分と比較的強い静電的な引力を持ちます。これが水素結合と呼ばれるもので、通常の分子間力と比較して、かなり強い引力ですので、分子同士が強く引き合い、そのため、分子量が小さい割に沸点が高くなっています。

HClに水素結合があるかないかについては、微妙なところだと思いますが、塩素原子はフッ素と比較して電気陰性度が小さいために、H-Cl結合の電荷の偏りは小さく、水素結合ができるとしても、それは非常に弱いものです。

おそらく、水素結合の形成に関しては、電気陰性度だけではなく、原子の大きさも関与しているように思われます。塩素原子はFに比べて大きい原子であり、負電荷が広範囲に分散し、効率的に水素結合を作ることはできないのでしょう。

強い水素結合を作るのは、事実上、F,O,Nの3種の元素であると考えて良いでしょう。

電気陰性度の大きい原子と結合している水素では、正の部分電荷が生じます。
とくに、フッ素は電気陰性度が最大の元素ですので、水素原子上の正電荷が大きくなります。
それと同時にフッ素原子上には負電荷が生じます。

一般に大きな正電荷をもつ水素原子は、負電荷をもつ部分と比較的強い静電的な引力を持ちます。これが水素結合と呼ばれるもので、通常の分子間力と比較して、かなり強い引力ですので、分子同士が強く引き合い、そのため、分子量が小さい割に沸点が高くなっています。

HClに水素結合がある...続きを読む

Q教えてください。これらの物質が酸性なのか?中性なのか塩基性なのかわかりません。

硝酸カリウム・塩化アンモニウム・酢酸ナトリウム・塩化ナトリウム・炭酸カリウムをそれぞれ水に溶かしたとき、その水溶液は酸性なのか、中性なのか?塩基性なのか?どのようにすればわかるのでしょうか?
できれば、中学生でもわかるように詳しく教えていただけるようお願い申し上げます。

Aベストアンサー

基本的には、
(1)強酸と強塩基の塩は中性。
(2)弱酸と弱塩基の塩は中性。
(3)強酸と弱塩基の塩は酸性。
(4)弱酸と強塩基の塩は塩基性。
要するに、酸にしろ塩基にしろ、強い方が勝つということです。
強酸の代表例は、塩酸、硫酸、硝酸であり、
弱酸の代表例は、酢酸、炭酸であり、
強塩基の代表例は、水酸化カリウム、水酸化ナトリウムであり、
弱塩基の代表例は、アンモニアです。

塩は、酸と塩基の中和によって生じますから、あとは、それぞれの塩の元になった酸と塩基を特定して、上記の規則を当てはめれば良いことになります。
硝酸カリウム:硝酸+水酸化ナトリウム→中性
塩化アンモニウム:塩酸+アンモニア→酸性
酢酸ナトリウム:酢酸+水酸化ナトリウム→塩基性
塩化ナトリウム:塩酸+水酸化ナトリウム→中性
炭酸カリウム:炭酸+水酸化カリウム→塩基性


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