一般相対論の計量テンソルについて

こんにちは、

下記HPのP6を見ますと

g_μν　g^μν=D

となっております。Dは次元のことです。

この関係は、平らな ミンコフスキー空間では成立しますが

一般相対論の曲がった時空でも成立するのでしょうか？

逆に言いますと、曲がった時空の計量テンソルは、この関係を満たす

必要があるのでしょうか？

http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/field/di …

質問者からの補足コメント

• 

  ご回答有難う御座います。
  ＞g_μνの逆行列がg^μνですから、当然そうなります。
  ＞ 計量テンソルの持つ性質というよりも、ただの定義の問題です。
  
  なんらかの物理的な意味があると思います。
  
  D＝４　すなわち４次元だけの場合を考えますと、
  ①曲がった時空でも、常に不変量として
  g_μν　g^μν=４
  になるということではないでしょうか？
  
  ②それとも、g_μν　g^μνが、4以外にもなることがあるのでしょうか？
  
  感覚的には、平らな（ミンコフスキー）でない空間でも、常に①の通り
  g_μν　g^μν=４
  が成立するような気がします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/12 22:00

• 

  ご回答有難う御座います。
  
  確かに、その通りかもしれません。
  場の量子論　F.マンドル／G．ショー
  P237、P238には、そのように記載されてます。
  
  仮に、
  ｇ_μν≠０　（μ≠ν）
  の場合、
  ｇ_μν＝０　（μ≠ν）
  のときと同じように、数学的には、（例えば真空偏極の場合）
  この次元正則化によって、有限値が得られるのでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/13 15:55

• 

  お返事ありがとうございます。
  次元正則化は、例えば下記HPのP89のｇ^μν*ｇ_μν=d(d=4)で計算してます。
  P38の式（267）は、真空偏極のCounter-termですが
  ｇ^μν＝{{-1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}
  の場合、ｇ^μν*ｇ_μν＝４となり、この解（無限大）が得られます。
  そこで質問です。
  ①
  ｇ^μν＝{{-1,0,0.6/√2,0},{0,0.8,0,0},{0.6/√2,0,1,0},{0,0,0,1}}
  の場合も、ｇ^μν*ｇ_μν＝４となります。
  このとき、P38の式（268）＝有限値は、得られるのでしょうか？
  ② 　　
  私が計算しますと
  ｇ^μν*ｇ_μν≠４のとき、P38の式（267）は、無限大にならないです。
  （文字オーバなので、お礼の欄に続きます。）

    補足日時：2015/12/16 16:45

• 

  例えばｇ^μν*ｇ_μν≠４になるのは
  ｇ^μν＝{{-1,0,0.6,0},{0,0.8,0,0},{0.6,0,1,0},{0,0,0,1}}
  のときです。
  この意味は、次元正則化の計算法が適用できないのでしょうか？
  それとも、ｇ^μν*ｇ_μν≠４のときには、無限大が発生していないことを意味しているのでしょうか？（無限大の困難が発生しないこと）
  それとも、計算間違いでしょうか？例えば、ｇ^μν*ｇ_μν=10とかは、無限大になるのでしょうか？
  ③ 　
  曲がった時空の計量テンソルは、常にｇ^μν*ｇ_μν＝４を満たしているのでしょうか？
  
  内部空間は４次元の場合、常にｇ^μν＝{{-1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}ですから、ｇ^μν*ｇ_μν≠４のときを考えても物理的な意味はないかもしれませんが、数学的にどうなるかを教えてほしいです。

    補足日時：2015/12/16 16:46

• 

  参考HPです。
  
  http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/pap/2007to …

    補足日時：2015/12/16 16:50

• 

  お返事有難う御座います。
  斜交座標は、
  https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BA%A4 …
  とかです。
  {{-1,0,0.6/√2,0},{0,0.8,0,0},{0.6/√2,0,1,0},{0,0,0,1}}
  は、斜交座標とは違うと思います。
  下記行列も、ｇ^μν*ｇ_μν＝４になります。
  これも、斜交座標でしょうか？重力場は、１０個（対称行列）の成分なのですから、下記のようなものは
  重力があると思います。
  
  
  {{-1, 0, 1.22, 0.83}, {0, 0.8, 0, 0}, {1.22, 0, 0.6, 0}, {0.83, 0, 0, 1}};

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/20 20:33

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2015/12/18 12:03

きちんとお示しのファイルを読むのは大変そうなので、読まなくてもわかる部分だけにします。

① 至るところでお示しのような計量テンソルになっているケースを考えているのなら、単にミンコフスキー時空で"斜交座標系"を設定しているに過ぎません。(つまり重力はどこにもありません)
したがって、物理的に意味のある量を計算しているのであれば、斜行座標系でも同一の結論になるはずです。

②
g^μνg_μν=4は定義から導出されるので、1+3次元の時空を考える限り4以外の値になることは決してありません。
ならなかったのなら、計算ミスか一般的な定義とは違う意味でg_μνなどの記号をもちいているかのいずれかでしょう。

③
回答をきちんと読んで下さい。

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。
＞単にミンコフスキー時空で"斜交座標系"を設定しているに過ぎません。(つまり重力はどこにもありません)
単に"斜交座標系"を設定しているだけとは、気が付きませんでした。（g^μνg_μν=4になるように、むちゃくちゃ適当にg^μνを決めました。）

"斜交座標系の設定”について認識しました。有難う御座います。

この計量が"斜交座標系"になっていること等を確認します。→まずは再認識させて頂きましたお礼をさせて頂きます。

確認後、再度補足させて頂きます。（多分、、、、、、、、どうやっても、単に斜交座標系を設定しているだけなら、このまま終わるかもしれません。→悲惨）

お礼日時：2015/12/18 18:17

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2015/12/15 08:28

唐突に次元正則化云々と言われても何の話をしているのかさっぱり分かりません。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2015/12/13 13:24

g_μν　g^μν=Dは常に成り立ちますが、

g_μν,g^μνの定義に戻って考えれば、単位行列のトレースを計算しているに過ぎません。これが行列の次元に等しくなるという事に物理的な意味があるとはとても思えません。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2015/12/12 17:36

g_μνの逆行列がg^μνですから、当然そうなります。

計量テンソルの持つ性質というよりも、ただの定義の問題です。