基本的な漸化式

数列を勉強しようと思って、数学に関するサイトを見ていると次のように書いてありました。

「現在ネズミが１０匹います。ネズミは毎年、親の数と同じ数の子供を生むが、必ず４匹死ぬ」 としましょう。 「必ず４匹死ぬ」があるので、ネズミの数ａnは、等比数列にはなりません。 では、一般項は、どう書けるのでしょうか？ 答はすぐには分かりません。 けれど少なくとも、
ａn+1＝２・ａn－４
ａ1＝１０
とは必ず書けますよね。

と書いてあったのですが、どうしてこうなるのか分かりません。どうしてａn+1＝２・ａn－４ と表せるのですか？
anの部分に何で+1されてるのかも、どうして右辺が２・ａn－４ になっているのかも全く分かりません。高校数学は全然できないので、回りくどくなってしまうのかもしれませんが、難しいことはナシに、易しく教えてください。お願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： shushou 回答日時： 2001/06/17 17:31

＞高校数学は全然できない

ようですので、基本的なことから書きます。

数の列を数列といいますが、たとえば次の数列を考えてみましょう。
(1)　1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,33,37,40,43,.......
この数の列はある規則に従っているとします。
すると、43の次は何が来るか分かりますか？
46,で、その次は49でしょうね。
ところで数列(1)の４個目の数字は10ですが、このことを
第４項目は10である
と表現します。よって
第５項目は13である
第14項目は40である
などといえますね。
でも、いちいちこんな風に書くのはメンドーなので
第４項目は10である、というのをA(4)=10　と書くようになったのです。
Aというのは数列(1)の名前だと思ってください。
Aという数列の第4項目だからA(4)とかく、という感じです。
だから、
第５項目は13であるというのはA(5)=13
第14項目は40であるというのはA(14)=40
と表現するわけです。ほかにも
A(1)=1,A(10)=28,A(15)=43,A(16)=46
とかけますね。
さて、数列(1)の第100項目、すなわちA(100)を知りたいときは
どうすればよいでしょう。
46,49,52,55,58,61,64,67,70,73,76,........
という風に100項目まで書いていくというのも、
確かに1つの方法です。でもこの方法だとたとえばA(2000)を求めることは
はっきりいって絶望的ですよね。
A(100)だろうがA(2000)だろうがA(456321)だろうが
たちどころに計算できてしまう夢のような式が欲しいと思いませんか。
そしてその夢のような式は(この場合は）意外と簡単にもとまって、
A(n)=3n-2
となります。
nに10を入れると　A(10)=3×10-2=28
となって、第10項目が28だと分かります。
第100項目は　A(100)=3×100-2=298
第2000項目は　A(2000)=3×2000-2=5998
となります。
そして、この”夢のような式”のことを一般項と呼びます。
A(n)のことを一般項という、と思ってください。
（以上、私が高校生に数列を教えるときのやり方）

さて本題。
A(n)というのは第n項目の数字を表しています。
だからA(n+1)というのは第n+1項目の数字を表しています。
ａn+1＝２・ａn－４
つまり　A(n+1)=2An-4　というのは
第n+1項目と第n項目の間にはどんな関係があるのかを表した式ですね。
このような式を漸化式(ぜんかしき)とよびます。
数列(1)で漸化式を作ってみましょう。
数列(1)の特徴はどんどん3を足していることですね。
だから　第n+1項は第n項に3を足せば得られることになります。
よって、A(n+1)=A(n)+3
という式が成り立ちます。
では、ネズミの話。
n年目のネズミの数をA(n)とすると
A(n+1)はn+1年目のネズミの数ですね。
n+1年目のネズミの数はどうなっているかを考えます。
n年目のネズミたちは皆、子を産むので、
ｎ+1年目のネズミの数はn年目のネズミの数の２倍になっています。
でも4匹死ぬので、結局
(n+1年目のネズミの数)=2×(n年目のネズミの数)-4
となります。よって、
A(n+1)=2A(n)-4
となります。

この回答へのお礼

とても丁寧に、１から教えてくださってありがとうございました。理解することができました。

お礼日時：2001/06/18 12:48

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2001/06/17 12:49

易しい説明、できるかな？　その自信が「なし」なんですけど....

「あなたはネズミの住んでいるおうちを、毎年１度決まった日にちに訪ねます。（たとえばあなたはサンタクロース。毎年クリスマスイブにネズミのおうちを訪ねるんだ、というのでも良いのです。）
○１度目に訪ねたときのネズミの数Ａ1 は10匹でした。
Ａ1 = １０
○２度目に訪ねたときのネズミの数Ａ2 が１度目に訪れたときの数Ａ1よりどれだけ増えたか数えてみると、「１度目に訪ねたときに居たねずみの数Ａ1より４匹だけ少ない数」＝(Ａ1 - ４)匹増えていました。
Ａ2 ＝ Ａ1 ＋ (Ａ1 - ４) ＝　２・Ａ1 - ４
○３度目に訪ねたときのネズミの数Ａ3 を２度目に訪れたときの数Ａ2よりどれだけ増えたか数えてみると、「２度目に訪ねたときに居たねずみの数Ａ2より４匹だけ少ない数」＝(Ａ2 - ４)匹増えていました。
Ａ3 ＝ Ａ2 ＋ (Ａ2 - ４) ＝　２・Ａ2 - ４
　　：
　　：
○n度目に訪ねたときのネズミの数Ａn をn-1度目に訪れたときの数Ａn-1よりどれだけ増えたか数えてみると、「n-1度目に訪ねたときに居たねずみの数Ａn-1より４匹だけ少ない数」＝(Ａn-1 - ４)匹増えていました。
Ａn ＝ Ａn-1 ＋ (Ａn-1 - ４) ＝　２・Ａn-1 - ４
○n+1度目に訪ねたときのネズミの数Ａn+1 をn度目に訪れたときの数Ａnよりどれだけ増えたか数えてみると、「n度目に訪ねたときに居たねずみの数Ａnより４匹だけ少ない数」＝(Ａn - ４)匹増えていました。
Ａn+1 ＝ Ａn ＋ (Ａn - ４) ＝　２・Ａn - ４
　　：
　　：
」
という意味。

>「現在ネズミが１０匹います。ネズミは毎年、親の数と同じ数の子供を生むが、必ず４匹死ぬ」
という文章は、誰にでもはっきり意図が伝わるような十分な説明だとは思えません。特に記号ａnの意味が書いてない。さらに「現在」「親」「子供」という余計な言葉があるためにかえって分かりにくくなっています。
「毎年のいつ産まれるの？ネズミは親になるまで何日掛かるの？どのネズミが死ぬの？親？子？現在１０匹だとして、未来の話をしているの？過去の話をしているの？」そういう疑問が湧いて当然ですよ。
　でも実は、親も子供もない、単にネズミの数の増え方の規則を述べただけ。

　ご覧になったサイトでは、この文章が出てくる前におそらく「現在ネズミが１０匹います。ネズミは毎年、親の数と同じ数の子供を生む」というような例題があり、記号ａnの意味も、そこでもう少し丁寧に説明されているのかも知れませんね。例えば「１年たてば子ネズミもみんな親に成長している」という前提もはっきり書いてあるのかも。

No.2 回答者： parts 回答日時： 2001/06/17 08:37

ｎ＋１はａより小さな大きさで書きますから区別してＡとしました。

（ここでは掲示板ですからこの大きさで我慢してね）
またＡｎは一般項となります。
これは簡単に、まず基本的に漸化式には２つの表し方（まあ公式みたいなもの）があります。
１．
　Ａｎ＋１＝Ａｎ＋ｄ（ｎ＝１，２，・・・）
　初項Ａ、公差ｄの等差数列を表す。
２．
　Ａ１（通常は１はＡの右下に小さく書く）＝ａ
　Ａｎ＋１＝ｒＡｎ（ｎ＝１，２，・・・）
　初項Ａ、公比ｒの等比数列を表す。

となります。まずこれをしっかり把握しておくことです。
これの１に数字を代入していけば良いわけです。
２倍になるのは親の数だけ子供が増えるということから２倍する。－４は死んでしまうネズミの数となる。

No.1 回答者： quotani 回答日時： 2001/06/17 08:21

まずanのｎの部分は年をあらわします（これを添え字といいます）。

現在ネズミが１０匹います；1年目にはねずみが10匹、つまりa1は10です。これは大丈夫ですね。
次の年ねずみは親の数と同じ数の子供を産む、そして4匹死ぬ。
最初にいた数は10匹、これと同じ数の子10匹、そこから4匹死ぬ。これを式であらわすと、
a2=10+10-4=16
これをこう表して見ましょう
a(1+1)=a1+a1-4
=2*a1-4
これが一般のnに対して成り立つ、つまり
a(n+1)=2an-4
となるわけです。
ちなみにこの式だとねずみは生まれて1年以内に子供を産むことになります。