以下の様な、指数部分が整数でない場合の展開方法が分からなくて困ってます。
 F(x)=(x+a)^0.25
何をどのように調べたら良いのかも見当つかないので、ご存知の方教えてください。

○○展開というような名前があるのかどうかでも、分かれば幸いです。

よろしくお願いいたします。

A 回答 (3件)

たとえば



F(x)=(x+a)^0.5=√(x+a)

はどうしますか。

F(x)=(x+a)^2=x^2+2ax+a^2

のような展開ができるか否かというと答えは否です。

しかし、展開の中心を決めて(例えばaのまわり)テーラー展開することは可能です。

公式は

F(x)=F(a)+Σ(k=1,n-1)(x-a)^k・F^(k)(a)/k!+(x-a)^n・F^(n)(ξ)/n! (a<ξ<x)

です。F^(k)(a)はF(x)のk回微分にaを代入したものです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
テーラー展開が使えるとは思いませんでした。
参考にしてみます。

お礼日時:2016/01/05 11:38

テイラー展開

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一般二項定理だったか一般二項展開だったか一般二項級数展開だったか、忘れたけどそんなワードで検索して。

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Q指数関数の積分なのですが、、、

指数関数の積分なのですが、、、
∫a・exp(-ax)dx を積分したいのですができません。
どうか、おしえてください。

Aベストアンサー

こんにちは。

t = -ax と置けば、
dt/dx = -a
逆関数の微分より
dx/dt = -1/a

∫a・exp(-ax)dx = ∫a・exp(t)dx/dt・dt
 = ∫a・exp(t)・(-1/a)・dt
 = -∫exp(t)・dt
 = -exp(t) + C
 = -exp(-ax) + C

Q何故,[g]=[Ψ]1[f][Φ]^-1ではなく[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]なの?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]はΦ^-1,
[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]はf,
[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]はΨで
結局[g]=[Ψ][f][Φ]^-1となると思ったのですがなぜか本には
[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]となっています。何処を勘違いしたのでしょうか?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→...続きを読む

Aベストアンサー

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(回答#2より)
[x]=[Φ][x']

同様に、Wの元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y]、
同じ元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y']で表すと、
[y]=[Ψ][y']

線形写像Tを基底[v1,...,vn]と基底[w1,...,wn]で表すと、
[y]=[f][x]
同じ線形写像Tを基底[v'1,...,v'n]と基底[w'1,...,w'n]で表すと、
[y']=[g][x']

これらの関係から、
[y']=[Ψ^-1]*[y]=[Ψ^-1]*[f][x]=[Ψ^-1][f][Φ][x']
となり、これを[y']=[g][x']と見比べると、
[g]=[Ψ^-1][f][Φ]
となっていることがわかる。

最初の質問にあった、
>[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
の対応はベクトル間の対応であって、だからこそ、その係数(=成分)の対応はこれとちょうど逆の変換を受けるのである。このことは、
[v][x]=[v'][Φ^-1]*[Φ][x']
[w][y]=[w'][Ψ^-1]*[Ψ][y']
と表してみてもわかる。ベクトルの成分[x']は行列[Φ]によって[x]にうつり、同じく成分[y']は行列[Ψ]によって[y]にうつっている。だから、同一の線形写像が
f:[x]→[y]
g:[x']→[y']
と表現されているなら、[Ψ][g][x']=[f][Φ][x']となっていて、いいかえると、
[x']→[y']の対応は、[x']→[x]→[y]→[y']という対応をたどったときも、一致していなくてはならない。だから、成分で考えたとき、[g]は、[Φ]→[f]→[Ψ^-1]と同一になるのである。つまり[g]=[Ψ^-1][f][Φ]。

あなたのいう[Φ^-1]→[f]→[Ψ]は、基底ベクトルの対応関係であって、成分表示と混同してはいけない。

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(...続きを読む

Q指数積分:閉曲線積分、極、留数

次の積分が解けません。

∫a→+∞ e^{-t}/t dt …(1)

a > 0,
a,t:実数

(1)の指数積分は複素積分で解けると教授に言われましたが、さっぱりわかりません。ずっと考えているのですが…助けてください。

http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral

Aベストアンサー

この積分は特殊関数の第2種不完全ガンマ関数Γ(a,x)
http://ja.wikipedia.org/wiki/不完全ガンマ関数
を使って
∫a→+∞ e^{-t}/t dt=Γ(0,a)(a>0)
となります。

具体的なa>0に対するΓ(0,a)の値については
計算サイト
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi
で数値計算してくれます。

>指数積分は複素積分で解けると教授に言われましたが、
これは無理でしょう(初等関数を使っては積分結果を表せない。)。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/不完全ガンマ関数

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q指数積分について教えてください

次の積分がわかりません。ご教授願います

∫e-1/3x dx (指数が表現できませんでした。eのマイナス三分の一エックスです)

どなたかお願いします。

Aベストアンサー

(e^x)'=e^xです
(e^ax)'=ae^axです。(aは定数)

[e^(-x/3)]'=-(1/3)e^(-x/3)
∫e^(-x/3) dx=-3e^(-x/3)+C「Cは積分定数」

指数の表現 e^x(eのx乗)です。

Q[数学][絶対値][外す?]

[数学][絶対値][外す?]

こんばんは。
テスト勉強で詰まってしまいました。

|x-1|+|x-2|=5を満たす実数のxを求めよ

この問題の解き方を教えて下さい。
「場合分け」をするのはわかったのですが
何故、どのように、場合分けをするのかがわからないです。

すみませんが、どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

絶対値の外し方はOKですね?

|x-1|、|x-2|の二つを考えたとき(負、負)、(負、正)、(正、負)、(正、正)になるように場合分けすればいいのです。

つまり
(負、負)・・・x<1のとき
(負、正)・・・なし
(正、負)・・・1≦x<2のとき
(正、正)・・・2≦xのとき

について場合分けすれば良いのです。

Q指数積分

df/dt=A+Bf (AとBは定数)
で表現されるとき、fを求めたいのですが、、、指数積分ですよね?
お願いします。。。

Aベストアンサー

A、Bが定数なら変数分離して、
df/(A+Bf)=dt  両辺不定積分して
左辺は 1/b*loglA+Bfl (lは絶対値記号のつもりです)
右辺はt+Const.となるから、
途中の式を割愛すると、A+Bf=±exp(BConst.)*exp(Bt)となるので、
定数部分を新たにCとして、f=(Cexp(Bt)-A)/b
と書けます。 どうでしょうか。

Qx[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

x[k]>0 (k=1,2,…,n)とする。

このとき、
x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

と予想しましたが、証明できるのでしょうか?

また、
x[1] + x[2] + … + x[n] = 1 とすると、x[1]・x[2]・…・x[n] に関する何らかの不等式はあるのでしょうか?

Aベストアンサー

そのまま相加相乗平均ですね。

( x[1] + x[2] + … + x[n])/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)=1
x[1] + x[2] + … + x[n]≧n

反対も同じです。

1/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)
x[1]・x[2]・…・x[n]≦(1/n)^n

Q積分および指数の変形

熱力学の公式(断熱変化における仕事を求める公式)についてですが、指数の変形および積分方法が苦手のため、カテゴリを数学に選択し質問してます。

式1 PV^γ=P1V1^γ
式2 w=∫[1→2]pdv
式3 w=p1v1/(γー1)*(1ー(v1/v2)∧γー1)
式4 式3=p1v1/(γー1)*(1ー(p2/p1)∧(γー1)/γ)

上記式2に式1変形を代入し積分すると式3になります
式3を変形すると式4になります

質問1 式3を導出する過程がわかりません…簡単な積分についてはある程度は出来ますが、指数の扱いが苦手でわかりません

質問2 式3→式4の変形過程がわかりません


わかる方がいましたらご教授願います。
蛇足ですが、最近になり高校数学及び熱力学を勉強していますので、出来るだけ解りやすく説明頂ければ幸です。

Aベストアンサー

ANo.1です.

> →1/V^γ=V^(-γ) となっている理由は、指数法則より 1/a^(-n)=a^nより用いたものと解釈しました。

その通りです.

> W
> = p1 V1^γ∫[1→2] V^(-γ) dV
> = p1 V1^γ[V^(1-γ)/(1 - γ)]_[1→2]
> = p1 V1^γ/(γ - 1) [-1/V^(γ-1)]_[1→2]
> →ここで(1-γ)が(-1+γ)と変形しているのはなぜですか?何かの公式を使用しているのでしょうか?

γは1より大きいです.(1 - γ)は負の数になってしまい,気持ち悪いので,(γ - 1)の形が現れるように変形しました.定積分の両端での値を評価してからこの変形を行うと,2個所に同じ変形を施す必要があるため,このタイミングで行いました.別にこんな公式があるってわけじゃなく,

V^(1-γ) = 1/V^(γ-1) (指数法則)
1/(1 - γ) = -1/(γ - 1)

という書き換えを行い,-1/(γ - 1)を[]の外に括り出しただけです.

> →ここで{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}={1 - (V1/V2)^(γ-1)}となるのはなぜでしょうか?

{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}={1 - (V1/V2)^(γ-1)}ではありません.

{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}

から因子1/V1^(γ-1)を括り出しているだけです:

{1/V1^(γ-1) - 1/V2^(γ-1)}
= 1/V1^(γ-1) {1 - V1^(γ-1)/V2^(γ-1)}
= 1/V1^(γ-1) {1 - (V1/V2)^(γ-1)}

です.

ANo.1です.

> →1/V^γ=V^(-γ) となっている理由は、指数法則より 1/a^(-n)=a^nより用いたものと解釈しました。

その通りです.

> W
> = p1 V1^γ∫[1→2] V^(-γ) dV
> = p1 V1^γ[V^(1-γ)/(1 - γ)]_[1→2]
> = p1 V1^γ/(γ - 1) [-1/V^(γ-1)]_[1→2]
> →ここで(1-γ)が(-1+γ)と変形しているのはなぜですか?何かの公式を使用しているのでしょうか?

γは1より大きいです.(1 - γ)は負の数になってしまい,気持ち悪いので,(γ - 1)の形が現れるように変形しました.定積分の両端での値を評価してからこの変形を...続きを読む

Q数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2

数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2
のとき、
lim[n->∞](a[1]+・・・・+a[n])/n の値を求めよ。
(小問で、1/a[n]>2nは解決済み。)

はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと?小問の利用?

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。


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