反発係数と運動量保存の関係について

こんにちは。

運動量保存則と反発係数について分かった気になっていたのですが、急に混乱し始めました。
アドバイスをお願いします。

静止している物体B（速度V=0）に、物体Aが速度vで衝突し、速度がそれぞれV',v'となった場合

・理解できている点
１、各物体の衝突前後の運動量の変化と与えた（与えられた）力積の関係の二式の和から運動量保存則が導かれる
２、反発係数をeとするとそれは衝突直前直後の相対速度の比であり、e=-(V'-v')/(V-v)で与えられる

理解できていない点
１、そもそもなぜ反発係数の相対速度比に-がつくのか。
２、ここがこの質問で一番お尋ねしたい点なのですが、もし反発係数eが0である場合、運動量保存則は成立しないのかどうか。そしてeがもし仮にわずか微小ながらであったとしても、e≠0でさえあれば運動量保存則は成立する、というものなのかどうか（運動量保存則と反発係数の関係について）。
言い換えますと、なぜ反発係数が存在するのに運動量保存則が成立するのかという疑問です。完全弾性衝突の場合ですと、運動量保存則が成立することは直観的に理解できますが、反発係数が0≦e<1の間で存在するとき、とりわけe=0である場合を考慮に入れると、反発係数と運動量保存の関係をどう考えて良いかわからなくなる、ということです。

どなたかご教示していただけませんか？
お願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます。
  少しずつ理解できてきました。
  
  運動量保存則は、作用反作用という根源的でほぼ普遍的な法則に基づいているのですね？
  その場合、反発係数は「衝突する二物体がどれだけの強度で作用反作用を行うか」と定義することは可能ですか？
  
  また、反発係数が0の物体があったとして、なぜその物体は二物体を、ぴったり同じでそれ以上でもそれ以下でもない丁度の速度に合わせることができるのでしょうか？
  なぜ少しずれるということが起こらないのでしょうか？
  
  おねがいします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/19 04:08

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/01/13 20:23

＞１、そもそもなぜ反発係数の相対速度比に-がつくのか。

No.1さんのとおり、衝突により相対速度の符号が逆転するからです。

　例えば、地球上に剛に取り付けられた壁にボールを衝突させれば、
　　・衝突前：X軸正方向（右方向）に速さ |Vx1| で運動
　　・衝突後：X軸負方向（左方向）に速さ |Vx2| で運動
とすれば、反発係数を e (≧0) として、絶対値として「速さ」で表わせば、
　　|Vx2| = e * |Vx1|
ですが、ベクトルで「速度」を表わせば
　　Vx2 = - e * Vx1
となりますよね？

　「スーパーボール」のようなものなら、衝突前の速さとほぼ同じ速さで、逆方向に跳ね返ります。
　「餅」とか「泥」のようなものなら、壁に「べちゃっ」とくっついて、衝突後の速さはゼロになるかもしれません。
　この違いが「反発係数」です。
（注：この例の場合でも、衝突する相手である「地球」の質量と速度まで考えると、ちゃんと運動量は保存されています）

　これは理解できると思います。


＞もし反発係数eが0である場合、運動量保存則は成立しないのかどうか。そしてeがもし仮にわずか微小ながらであったとしても、e≠0でさえあれば運動量保存則は成立する、というものなのかどうか（運動量保存則と反発係数の関係について）。

反発係数がゼロのケースとして、「餅」どうしの衝突を考えましょう。衝突後は、一体化して運動します。
質量M1、速度V1の餅と、質量M2、速度V2の餅が衝突して、衝突後に質量「M1+M2」の1個の餅として速度V3で運動すれば、
　　M1*V1 + M2*V2 = (M1 + M2) * V3
が成り立ちます。

反発係数としての定義がどうなるのかは分かりませんが、衝突前に質量M1、M2だったものが、衝突後には質量がM3、M4の2個になった場合でも、さらには衝突後に3個とか4個とかに分割されても、運動量保存は成立します。たとえば、
　　M1*V1 + M2*V2 = M3*V3 + M４*V4 + M5*V5 + M6*V6
（ただし、M1 + M2 = M3 + M4 + M5 + M6)
など。

質問者さんが、高校生か大学生か社会人か分かりませんが、ニュートンの運動方程式と「微分」をご存知なら、
　　F = m*a
　　　= m * dv/dt
　　　= d(mv)/dt　　　（１）
ということで、
　　（力）＝（質量）×（加速度）
とは
　　（力）＝（運動量の時間変化）　　（←「運動量の微分」ということ）
と等価です。
　「衝突」は、重心周りの閉じた系の内部での現象（2つの物体だけの現象）で、系の外からの力は働いていません。つまり
　　　F = 0
です。つまり（１）より
　　　d(mv)/dt = 0
よって
　　　mv = 一定
つまり、衝突のような「内部事象」で外力が働かない現象では、運動量は一定（衝突前後で不変）ということです。

つまり「運動量保存」は、ニュートンの運動方程式から直接導き出される、というか、ニュートンの運動方程式そのものということです。

「反発係数」は、上に書いたように「物体の、衝突前と衝突後の速度の関係」を示すものであって、「反発係数」がどのように変化しても、運動量はきちんと保存されているということです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
微分を使うとよりわかりやすくなりますね！！

お礼日時：2016/01/19 04:08

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/01/13 07:44

>１、そもそもなぜ反発係数の相対速度比に-がつくのか。

衝突により相対速度の符号が逆転するからです。

>２、もし反発係数eが0である場合、運動量保存則は成立しないのかどうか。

系に外力が働かないのであれば成立します。
AとBがー体化し、元のAの運動量で動くというだけです。

運動量保存則は作用反作用の法則から導かれる単純な法則です。なぜ

>なぜ反発係数が存在するのに運動量保存則が
>成立するのかという疑問です。

と考えてしまうのかよくわかりません。

反発係数というのは、AとBが交換する運動量の大小を
決めるにすぎず、運動量がどこかに消失するわけではありません。