X=R上にcofinite topology を考えるとき、｛1,2,3｝の閉包と内部、N全体の閉包

X=R上にcofinite topology を考えるとき、｛1,2,3｝の閉包と内部、N全体の閉包と内部、そして過程を教えて欲しいです。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• deeton様
  回答ありがとうございます。
  ｛1,2,3｝は点の集合なので、閉集合だと思っております。この集合に含まれる開集合は空集合だと思います。しかし、曖昧です。
  自然数全体は同様に閉集合だと考えます。
  このあたりから曖昧なので、ご指導のほどよろしくお願いします。

    補足日時：2016/01/30 15:14

• ありがとうございます。
  cofinite topologyは、有限補集合位相で、｛O∈2^R| |R-O|<アレフゼロ｝∪｛空集合｝です。
  ｛1,2,3｝の補集合、Nの補集合は何を全体集合と考えればよろしいのでしょうか。よろしくお願いします。

    補足日時：2016/01/31 12:23

• ありがとうございます。
  ｛1,2,3｝の補集合は（-∞,1）,（1,2）,(2,3),(3,∞)であり、
  Nの補集合はR－Nであると考えます。

    補足日時：2016/01/31 15:48

No.4 回答者： deeton 回答日時： 2016/01/31 16:40

>｛1,2,3｝の補集合は（-∞,1）,（1,2）,(2,3),(3,∞)であり、

これは間違いです。
この書き方だと {1, 2, 3} の補集合が4つあると解釈されます。

>Nの補集合はR－Nであると考えます。
これは正しいです。
R - N は開集合ではありませんから N は閉集合ではない、というわけです。

ただ cofinite topology の場合は、何が開集合になるか考えるよりも、何が閉集合になるか考えるほうが、分かりやすいかも知れません。
それらを踏まえて、もう一度最初から、質問なさった問題の正解を考えてみてください。

No.3 回答者： deeton 回答日時： 2016/01/31 12:37

>｛1,2,3｝の補集合、Nの補集合は何を全体集合と考えればよろしいのでしょうか。

cofinite topology により R を位相空間と見なすのですから、全体集合（つまり、この位相空間の台集合）は、当然 R です。

No.2 回答者： deeton 回答日時： 2016/01/30 16:18

>｛1,2,3｝は点の集合なので、閉集合だと思っております。

閉集合だという結論は正しいです。
しかし、点の集合というだけでは、閉集合と断定する根拠になりません。
{1, 2, 3} が閉集合であることをいうためには、その補集合が開集合であることを示せばいいです。
cofinite topology の定義より、そのことは明らかなのですが、質問者様は明らかと思えていますか。
明らかと思えているのなら {1, 2, 3} の補集合が開集合である理由を、簡単に説明してください。

>この集合に含まれる開集合は空集合だと思います。
正解です。空集合だけです。
ですが、「しかし、曖昧です」というのであれば、やはり御自分なりの理由を説明してください。

>自然数全体は同様に閉集合だと考えます。
これは間違っています。
N の補集合は、開集合の定義を満たしていません。

全体を通して、理解が不十分なのは cofinite topology の定義を正しく理解していないから、という可能性も考えられます。
念のため cofinite topology の定義を書いてください。
そのことにより、すべてが明瞭になると思います。

No.1 回答者： deeton 回答日時： 2016/01/30 12:37

まず、この位相空間において {1, 2, 3} が閉集合かどうか、判定してください。

そして {1, 2, 3} に含まれる開集合って、具体的に分かりますか。

同様に N は閉集合ですか。違うとしたら N を含む閉集合って、具体的に分かりますか。
N に含まれる開集合って、具体的に分かりますか。