理経数学プラチカ55番(2)で・(dx/dt,dy/dt)//(sint,cost)・法線の式で

理経数学プラチカ55番(2)で
・(dx/dt,dy/dt)//(sint,cost)
・法線の式でkとはどこからきたのか
・垂線の足の座標が(sint,cost)
の3つがわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか？

補足で問題を添付します

質問者からの補足コメント

• 問題です

  
    補足日時：2016/02/09 11:14

• 解答に書いてあることがわからないので計算のしようがありませんでした。

    補足日時：2016/02/09 12:29

• ならば何をすればいいかわからない状態で計算ができるでしょうか？
  私は天才ではないのでわかりません

    補足日時：2016/02/09 13:44

• そして、教えてくださいと質問しているのになぜ質問通りの解答をしてくれないのですか？？いささか疑問です

    補足日時：2016/02/09 13:45

No.3 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/02/09 16:40

・(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost)　

　～～～～～～～～～～～～～～

(1) で、dx/dt=tsint、dy/dt=tcost
を解いたと思いますが・・・、

(→ａ)＝ｋ(→ｂ)
となる実数ｋ(≠０)が存在すれば、
２つのベクトル (→ａ)　と　(→ｂ)　は平行ですね？

なので、
(dx/dt, dy/dt)=(tsint, tcost)=t(sint, cost)
と変形すると、これから、
(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost)
がいえます。


・法線の式でkとはどこからきたのか
　～～～～～～～～～～～～～～～～

(dx/dt, dy/dt)　つまり　(sint, cost)　に垂直なベクトルは、
(－cost, sint) ・・・・・・ ①
ですね？

Ｃ上の点Ｐは、
(x, y)=(sint－tcost, cost＋tsint)＝(sint, cost)＋t(－cost, sint) ・・・・・・ ②
で、点Ｐ(x, y) における法線は、
(一応、法線上の点を、大文字のＸ、 Ｙを使って（Ｘ, Ｙ) とすると、）
① を用いて、
(X, Y)=(x, y)＋ｓ(－cost, sint)　（ｓの文字はｔ以外であればよいです）
ですね？
② を代入して
(X, Y)=(sint, cost)＋t(－cost, sint)＋ｓ(－cost, sint)
　　 ＝(sint, cost)＋(t＋s)(－cost, sint)
ここで、t+s=k とおくと、
　　　～～～～～

(X, Y)=(sint, cost)＋ｋ(－cost, sint)
となり、この大文字を小文字に変えると、解答の
(x, y)=(sint, cost)＋ｋ(－cost, sint) ・・・・・・ ③
になります。


・垂線の足の座標が (sint, cost)
　～～～～～～～～～～～～～～

直線上の点Ｑ(x, y) において、原点からの距離が最短になる
とすると、ＯＱ>0 より
『　ＯＱ^2 が最小になる 』　とき　『　ＯＱも最小になる　』　から、
ＯＱ^2＝x^2+y^2　が、最小になる　ｋ　を求めればよい。
③ より
(x, y)=(sint－kcost, cost+ksint)
だから、
x^2+y^2＝(sint－kcost)^2+(cost+ksint)^2
　　　　 ＝sin^2t-2ksintcost+k^2cos^2t+cos^2t+2kcostsint+k^2sint
　　　　 ＝k^2(sin^2t+cos^2t)+(sin^2t+cos^2t)
　　　　 ＝k^2+1
k=0 のとき　x^2+y^2 が最小　になる。
③ にk=0 を代入して
(x, y)=(sint, cost)
この点が、原点Ｏから下した垂線の足になります。

この回答へのお礼

長文での解説ありがとうございます！とても参考になりました！！

お礼日時：2016/02/09 17:59

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/09 13:38

なぜ「解答に書いてあることがわからない」と「計算のしようがない」のですか? 例えば dx/dt は, 解答を読まなくても問題だけか

ら計算できるのではありませんか?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/09 12:24

実際に計算してみましたか?